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GROUPES (mathématiques) Généralités

Groupes de transformations

Si E est un ensemble, nous avons déjà indiqué que les bijections de E sur lui-même forment un groupe Σ (E) pour la composition des applications, le groupe symétrique de E. Si E est muni d'une structure, les bijections qui conservent cette structure forment un sous-groupe de Σ(E), le groupe des automorphismes de E pour la structure considérée. C'est ainsi qu'on a introduit ci-dessus le groupe Aut(G) des automorphismes d'un groupe G ; si V est un espace vectoriel, on obtient le groupe linéaire de V, noté GL(V), formé des bijections linéaires de V sur V.

On dit qu'un groupe G opère sur un ensemble E si E est muni d'une loi externe dont le domaine d'opérateurs est G :

de telle sorte que g(hx) = (gh)x et 1 x = x pour g, h ∈ G et x ∈ E. Cela entraîne que, pour g ∈ G, l'application ρ(g) : E → E qui à x fait correspondre gx est une bijection de E sur lui-même (dont la bijection réciproque est ρ(g-1)) ; la condition d'associativité s'écrit ρ(gh) = ρ(g) ∘ ρ(h) et exprime donc que ρ est un morphisme de G dans le groupe symétrique Σ(E). On appelle un tel morphisme une représentation du groupe G dans le groupe Σ(E) ; si ρ est un isomorphisme de G sur son image, on dit qu'on a réalisé le groupe G comme groupe de transformations de E. Remarquons qu'on peut toujours réaliser un groupe comme groupe de transformations de l'ensemble qui lui est sous-jacent en identifiant tout élément g ∈ G à la translation à gauche h ↦ gh. Dans ce qui suit, nous considérerons un groupe G qui opère sur un ensemble E.

Pour x ∈ E, on appelle orbite de x l'ensemble des éléments gx pour g ∈ G ; remarquons que les orbites de deux éléments sont toujours disjointes ou confondues, car la relation x ∼ y, s'il existe g ∈ G tel que y = gx, est une relation d'équivalence sur E. On appelle classes d'intransitivité les classes pour cette relation d'équivalence, c'est-à-dire les orbites disjointes. Le groupe est dit transitif s'il n'existe qu'une seule classe d'intransitivité (E tout entier). Cela signifie que, si x et y sont deux éléments quelconques de E, il existe au moins un élément g ∈ G tel que y = gx ; si cet élément g est de plus toujours unique, le groupe est dit simplement transitif. Plus généralement, on dit que le groupe G est n-fois transitif si E contient au moins n éléments et si, étant donné deux systèmes quelconques x1, ..., xn et y1, ..., yn de n éléments de E, il existe au moins un élément g ∈ G tel que yi = gxi pour i = 1, 2, ..., n. On verra de nombreux exemples de ces situations dans les articles sur les groupes classiques et sur les groupes finis.

On appelle enfin espace homogène un ensemble E muni d'un groupe transitif d'opérateurs. Voici, pour terminer, un exemple important de cette situation, auquel on peut toujours se ramener par un isomorphisme. Soit G un groupe et H un sous-groupe quelconque de G ; désignons par G/H l'ensemble des classes à gauche suivant H. Il est clair que, pour g ∈ G, l'application qui à la classe à gauche de x fait correspondre la classe à gauche de gx est une bijection de G/H sur lui-même et que l'on fait ainsi opérer G transitivement sur l'ensemble G/H, ce qui munit cet ensemble d'une structure d'espace homogène. Réciproquement, si E est un ensemble sur lequel opère transitivement un groupe G, soit a un élément de E et désignons par Ha le sous-groupe des éléments de G laissant a invariant, c'est-à-dire tels que ga = a ; on vérifie facilement que l'espace homogène E est isomorphe (en tant qu'espace homogène) à l'espace homogène G/Ha des classes à gauche de G suivant le sous-groupe Ha.

— Jean-Luc VERLEY[...]

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  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Groupe des symétries du cube - crédits : Encyclopædia Universalis France

Groupe des symétries du cube

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