GROUPES (mathématiques) Groupes classiques et géométrie

Générateurs du groupe orthogonal

Les involutionsu de GL(E) qui appartiennent à O(E) sont celles pour lesquelles les sous-espèces propres V⁺ et V^- (cf. Générateurs, in chap. 1) sont orthogonaux : on dit encore qu'une telle involution est une symétrie orthogonale par rapport à V⁺. Lorsque V⁺ est un hyperplan H, on dit encore réflexion orthogonale de droite V^- = H^⊥. Si dim E = n, toute transformation orthogonale est produit de n réflexions orthogonales au plus. Lorsque V⁺ est de dimension n − 2, on dit que l'involution est un renversement d'axe V^- ; pour n ≥ 3, toute rotation est produit de n renversements au plus. Tout renversement est un commutateur de O⁺(E) si n ≥ 3 : en effet, soit (e₁, e₂) une base orthonormale de V^-, et posons V⁺= Re₃⊕ W, où W est orthogonal à e₃ ; on peut écrire u = v₁v₂, où v₁ (resp. v₂) est le renversement d'axe Re₁⊕ Re₃ (resp. Re₂⊕ Re₃₎ ; comme v₂ est conjugué de v₁ dans O⁺ (E) [cf. infra, Propriétés de transitivité et de conjugaison]et comme v₁ = v^-1₁, on a u = v^-1₁sv₁s^-1 pour un s ∈ O⁺(E). On en conclut que O⁺(E) est son propre groupe des commutateurs et le groupe des commutateurs de O(E).

Le centre Z₀ de O(E) est formé de l'identité et de la symétrie x ↦ − x. Si n est pair, Z₀ est aussi le centre de O⁺(E) ; sinon, le centre de O⁺(E) est réduit à l'identité et O(E) est le produit direct Z₀× O⁺(E).

Propriétés de transitivité et de conjugaison

Pour que deux sous-espaces vectoriels V₁, V₂ de E soient transformés l'un de l'autre par une transformation orthogonale, il faut et il suffit qu'ils aient même dimension ; il existe alors une rotation u telle que V₂ = u(V₁). Les symétries orthogonales par rapport à V₁ et V₂ sont alors conjuguées.

Le groupe O(2, R) et les angles

Pour une matrice U d'ordre 2, le calcul montre que la relation (1) équivaut à dire que U peut prendre l'une des deux formes :

Les matrices U₁ (resp. U₂) sont celles des similitudes directes (resp. inverses). On déduit de ces formules que le groupe GO⁺(R²) des similitudes directes est commutatif, donc aussi le groupe O⁺(R²) des rotations ; GO⁺(R²) opère de façon simplement transitive dans R² − {0}. On voit aussi que :

On appelle groupe des angles un groupe u isomorphe à O⁺(R²) (donc à U) mais noté additivement ; il n'y a, par suite, pas de distinction essentielle à faire entre les notations d'angle et les notations de rotation plane, bien qu'il soit commode de parler de la « rotation d'angle θ » et de la noter :

Puisque, par définition, r est un isomorphisme de u sur O⁺(2, R), on a :

Par définition, les éléments α et β dans la matrice :

Pour deux vecteurs x et y de R² de même longueur ∥x∥ = ∥y∥ ≠ 0, il existe une rotation u et une seule telle que u(x) = y ; l'angle θ de cette rotation est appelé l'angle de y avec x et noté (x, y). Si les deux vecteurs sont unitaires, on a cos θ = (x | y).

Si x, y, z sont trois vecteurs de même longueur dans R², on a :

Le groupe des angles u contient des éléments d'ordre fini : par exemple, l'angle droit δ qui correspond au nombre complexe i ∈ U ou à la matrice :

Structure des transformations orthogonales

Pour toute transformation orthogonale u ∈ O(E), il y a une décomposition de E en sous-espaces deux à deux orthogonaux V, W, P₁, P₂..., P_r stables par u et tels que :

a) la restriction de u à V est l'identité ;

b) la restriction de u à W est la symétrie x ↦ − x ;

c) chacun des P_j est un plan (espace de dimension 2) et la restriction u_j de u à P_j est une rotation distincte de l'identité et de x ↦ − x.

Si Ψ_j est une isométrie de P sur R², il existe un angle θ_j distinct de 0 et de 2δ tel que u_j = Ψ_j^-1r(θ_j)Ψ_j, et θ_j est déterminé « au signe près » indépendamment du choix de Ψ_j ; les valeurs propres de u sont 1 (de multiplicité dim V), − 1 (de multiplicité dim W) et les e^±iθ_j (ces dernières peuvent être multiples si θ_j = ± θ_k pour j ≠ k).

On a det (u) = (− 1)^{dim W} ; par suite, si u ∈ O⁺(E) et si dim E est impair (resp. u ∉ O⁺(E) et dim E pair), W est nécessairement de dimension paire (resp. impaire) ; donc V ne peut être réduit à 0, en d'autres termes il existe au moins un vecteur x ≠ 0 invariant par u.

Simplicité du groupe O⁺(3, R)

Montrons que tout sous-groupe distingué N de O⁺(3, R) non réduit à l'identité est nécessairement égal à O⁺(3, R). Supposons donc qu'il existe u ≠ 1_E dans N, de sorte que (cf. supra, Structure des transformations orthogonales) il existe une droite D dont tous les points sont invariants par u, et la restriction de u au plan P = D^⊥ est une rotation d'angle θ ≠ 0 (déterminé « au signe près »). Distinguons trois cas :

a) Cos θ = − 1 ou θ = 2δ, autrement dit u est un renversement ; mais, comme N est distingué, il contient tous les renversements (cf. supra, Propriétés de transitivité et de conjugaison, in chap. 2), et donc il est égal à O⁺(3, R) (cf. supra, Générateurs du groupe orthogonal).

b) Cos θ < 0. Soit e₃ un vecteur de longueur 1 dans D, e₁ un vecteur de longueur 1 dans P et e₂ = u(e₁) ∈ P ; on a (e₁| e₂) = Cos θ < 0. Considérons un vecteur x = λe₃ + e₁ ; on a u(x) = λe₃ + e₂, donc (x | u(x)) = λ² + Cos θ, et, en prenant λ = (− Cos θ)^1/2, on obtient un vecteur tel que (x | u(x)) = 0. Soit alors v le renversement d'axe Rx ; uvu^-1 est le renversement d'axe Ru(x). Comme N est distingué,

c) 0 < Cos θ < 1. On voit aisément qu'il existe un entier n > 0 tel que Cos nθ < 0 ; comme uⁿ∈ N, il suffit d'appliquer le cas b à uⁿ et la démonstration est achevée.

Les groupes O⁺(n, R) pour n ≥ 4

En utilisant la simplicité du groupe O⁺(3, R), on peut, par un raisonnement tout aussi élémentaire mais assez long, prouver que :

Spineurs

L'algèbre des quaternions sur R se généralise de la façon suivante. Pour tout entier n ≥ 2, il existe une algèbre C_n sur R, de dimension 2ⁿ, dite algèbre de Clifford d'indice n, qui est engendrée, en tant qu'algèbre, par l'élément unité 1 et n éléments e_j (1 ≤ j ≤ n) identifiés à la base canonique de Rⁿ, et qui sont assujettis à vérifier les conditions suivantes :

On montre que les 2ⁿ produits :

Le groupe multiplicatif engendré dans C⁺_n par les produits ab, où a et b varient dans Rⁿ − {0} et sont de longueur 1, est noté Spin(n) ; on montre qu'il existe un homomorphisme surjectif et un seul σ : Spin(n) → O⁺(n, R) tel que σ_ab = s_as_b ; le noyau de cet homomorphisme est formé de l'identité et de − 1, mais Spin(n) n'est pas produit semi-direct de ce sous-groupe et d'un groupe isomorphe à O⁺(n, R). Lorsque l'on considère C⁺_n comme un espace vectoriel sur lequel Spin(n) opère par multiplication à gauche, les éléments de C⁺_n sont appelés spineurs (cf. groupes [mathématiques] – Groupes de Lie).