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GROUPES (mathématiques) Groupes classiques et géométrie

Le groupe orthogonal

On suppose donné sur E un produit scalaire : c'est une application bilinéaire :

de E × E dans R, qui est en outre supposée symétrique, c'est-à-dire que :
et positive non dégénérée, c'est-à-dire que :
pour x ≠ 0 dans E. La donnée d'une telle application définit dans E une notion d' orthogonalité : x, y dans E sont dits orthogonaux si l'on a (x|y) = 0 (relation symétrique en x et y). On dit que deux sous-espaces vectoriels V, W de E sont orthogonaux si tout vecteur de V est orthogonal à tout vecteur de W ; pour un sous-espace vectoriel V donné, l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de V est le plus grand sous-espace vectoriel orthogonal à V ; on l'appelle l'orthogonal de V et on le note V⊥. On a les relations :

L'exemple classique de produit scalaire dans Rn est :

inversement, pour tout produit scalaire (x|y) sur E, il existe une base dite orthonormale (ej) de E telle que :

Un espace vectoriel E muni d'un produit scalaire est ce qu'on appelle un espace euclidien ; sur un même espace vectoriel E, il y a une infinité de produits scalaires non proportionnels, donnant une infinité de structures d'espace euclidien pour lesquelles les notions d'orthogonalité sont distinctes ; toutefois tous ces espaces sont isomorphes, en vertu de l'existence des bases orthonormales. On suppose dans ce qui suit que le produit scalaire est fixé, et on pose ∥x∥ =(x|x)1/2 (longueur du vecteur x).

On appelle similitude de E une transformation linéaire u ∈ GL(E) telle que :

quels que soient x, y dans E, où μ = μ(u) est une constante ≠ 0 dite multiplicateur de u ; on a nécessairement μ > 0 comme on le voit en faisant y = x ≠ 0. Si U est la matrice de u rapporté à une base orthonormale, il revient au même de dire que :

Les similitudes forment un sous-groupe GO(E) ⊂ GL(E), et u ↦ μ(u) est un homomorphisme de ce groupe sur le groupe multiplicatif R *+ des nombres réels > 0 ; son noyau O(E) est appelé le groupe orthogonal de E (pour le produit scalaire considéré) ; c'est donc le sous-groupe de GL(E) formé des u tels que :

on peut montrer que c'est aussi le groupe de toutes les applications – non supposées linéaires a priori – telles que u(0) = 0, ∥ u(x) ∥ = ∥ x ∥ pour tout x ∈ E.

Toute homothétie hλ est une similitude de multiplicateur λ2 ; toute similitude de multiplicateur μ s'écrit d'une seule manière hλ ( v, où λ = √μ et v ∈ O(E) ; GO(E) est produit direct du groupe O(E) et du groupe multiplicatif Z+(E) des homothéties de rapport > 0, isomorphe à R *+.

Pour une transformation orthogonale de matrice U, on a, d'après la formule (1), (det U)2 = 1 ; le sous-groupe O+(E), ou SO(E), des transformations orthogonales de déterminant l (aussi appelées rotations) est d'indice 2 dans O(E). Les similitudes appartenant au sous-groupe :

sont dites directes, les autres inverses.

Lorsque E = Rn, on suppose toujours que Rn est muni du produit scalaire classique, et on écrit O(n, R) [resp. O+(n, R) ou SO(n, R)] au lieu de O(Rn) [resp. O+(Rn)] et on l'identifie avec le groupe des matrices orthogonales (i.e. telles que tU = U-1). Si E est de dimension n, le groupe O(E) est isomorphe à O(n, R).

Générateurs du groupe orthogonal

Les involutionsu de GL(E) qui appartiennent à O(E) sont celles pour lesquelles les sous-espèces propres V+ et V- (cf. Générateurs, in chap. 1) sont orthogonaux : on dit encore qu'une telle involution est une symétrie orthogonale par rapport à V+. Lorsque V+ est un hyperplan H, on dit encore réflexion orthogonale de droite V- = H⊥. Si dim E = n, toute transformation orthogonale est produit de n réflexions orthogonales au plus. Lorsque V+ est de dimension n − 2, on dit que l'involution est un renversement[...]

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  • ALGÈBRE

    • Écrit par
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    La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et...

  • BOREL ARMAND (1923-2003)

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    En 1992, le mathématicien Armand Borel a reçu le prix international Balzan « pour ses contributions fondamentales à la théorie des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes arithmétiques, et pour son action inlassable en faveur de la recherche mathématique et de la propagation...

  • BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)

    • Écrit par
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    Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches...

  • CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

    • Écrit par
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    • 1 média
    ...valeurs propres d'une matrice symétrique d'ordre supérieur à 3, et il partage avec Binet la découverte de la formule donnant le produit de deux déterminants. Il a été aussi le premier à dégager clairement la notion de groupe de permutations et on lui doit les premiers résultats non triviaux de la théorie des...
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