GROUPES (mathématiques) Groupes classiques et géométrie

Les groupes orthogonaux des formes non positives

Dans le chapitre 2, on peut remplacer, au départ, le produit scalaire par une forme bilinéaire symétrique non dégénérée quelconque Φ(x, y) ; pour une telle forme, il existe toujours au moins une base (dite adaptée à Φ) telle que :

et le nombre p est le même pour toutes les bases adaptées (« loi d'inertie ») ; on dit que (p, n − p) est la signature de Φ ; un produit scalaire est donc une forme de signature (n, 0).

La différence fondamentale entre le cas 1 < p < n et les cas p = n et p = 0 réside dans l'existence de vecteurs x ≠ 0 tels que Φ(x, x) = 0, dits vecteurs isotropes (leur ensemble est appelé cône isotrope de E). Plus généralement, il y a des sous-espaces V ≠ {0} tels que la restriction de Φ à V soit identiquement nulle ; on dit que ces espaces sont totalement isotropes et leur dimension maximale est :

appelée indice de Witt de Φ. On définit comme dans le chapitre 2 les notions de vecteurs orthogonaux (pour Φ) et de sous-espaces orthogonaux ; on a encore entre V et son orthogonal V^⊥ les mêmes relations, sauf les relations (équivalentes) V ∩ V^⊥ = {0} et V + V^⊥ = E ; si V ∩ V^⊥ ≠ {0}, on dit que V est un sous-espace isotrope. Dire que V ⊂ V^⊥ signifie que V est totalement isotrope ; pour tout sous-espace V, V ∩ V^⊥ est totalement isotrope et c'est, en fait, le plus grand sous-espace totalement isotrope contenu dans V ou V^⊥.

Ces notions d'« orthogonalité » relatives à Φ ont une traduction plus familière (tout au moins pour n = 4) en géométrie projective ; si P(E) est l'espace projectif (de dimension n − 1) associé à E, l'image Q dans P(E) du cône isotrope d'équation Φ(x, x) = 0 est appelée quadrique (ou hyperquadrique) projective non dégénérée ; si x et y sont deux vecteurs ≠ 0 dans E, orthogonaux pour Φ, on dit que les images de Rx et Ry sont des points de P(E) conjugués par rapport à Q. Si D est une droite de E et H = D^⊥ l' hyperplan orthogonal pour Φ, on dit que le point de P(E) correspondant à D est le pôle de l'hyperplan projectif correspondant à H et que ce dernier est l'hyperplan polaire de ce point (par rapport à Q). Un sous-espace isotrope de E a pour image une variété projective tangente à Q et un sous-espace totalement isotrope a pour image une variété projective contenue dans Q (de dimension projective v − 1 ; pour n = 4, v = 2, ce sont les génératrices de Q).

On définit les similitudes et les transformations orthogonales relatives à Φ en remplaçant, dans les définitions du chapitre 2, le produit scalaire par Φ(x, y) ; on note GO(Φ) [resp. O(Φ)] le groupe des similitudes [resp. le groupe orthogonal] relatif à Φ ; on a GO(− Φ) = GO(Φ). La loi d'inertie montre que le multiplicateur μ(u) d'une similitude est nécessairement > 0 sauf si n est pair et p = n/2 ; sauf dans ce dernier cas, GO(Φ) est produit direct de O(Φ) et de Z⁺(E) ; si p = n/2, ce produit direct est un sous-groupe d'indice 2 (non facteur direct) dans GO(Φ).

Si on rapporte E à une base adéquate pour Φ, la matrice U d'une similitude relative à Φ est caractérisée par la relation :

on a donc (det U)² = μⁿ, et en particulier, det U = ± 1 pour une transformation orthogonale ; on définit comme dans le chapitre 2 le groupe des rotations O⁺(Φ) ; sauf lorsque n est pair et p = n/2, on dit que le sous-groupe d'indice 2 dans GO(Φ),

est formé de similitudes directes (les autres étant dites inverses). Pour n = 2 p, le groupe GO⁺(Φ) des similitudes directes est défini comme formé des similitudes u telles que det(u) = (μ(u))^p ; il contient le produit direct précédent, qui en est un sous-groupe d'indice 2.

Le groupe O(Φ) relatif au cas n = 4,[...]

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Écrit par

Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences

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