GROUPES (mathématiques) Groupes classiques et géométrie

Généralisations

Les groupes GL(E) et SL(E) se définissent de la même manière lorsque E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K quelconque ; si n = dim E, on note aussi ces groupes GL(n, K) et SL(n, K). Tout ce qui a été vu dans le chapitre 1 pour le cas K = R s'étend sans changement au cas général, sauf en ce qui concerne la détermination des involutions lorsque K est de caractéristique 2 et, en ce qui concerne les propriétés de conjugaison, lorsque dim E = 2. On peut toutefois montrer que SL(E) est encore son propre groupe des commutateurs sauf lorsque dim E = 2 et que K est un corps fini ayant deux ou trois éléments ; la démonstration de simplicité faite plus haut dans le chapitre 1 s'applique alors sans modification et prouve que SL(E)/(Z ∩ SL(E)) est un groupe simple, sauf dans les deux cas précédents.

On peut étendre la définition de GL(E) et de SL(E) au cas où E est un espace vectoriel (à gauche) de dimension finie sur un corps K non commutatif, mais il faut utiliser dans ce cas une autre définition du déterminant ; moyennant quoi, on peut encore prouver la simplicité du groupe SL(E)/(Z ∩ SL(E)) ; le centre Z(E) de GL(E) est ici formé des homothéties x ↦ λx où λ ≠ 0 est dans le centre de K.

La définition de GL(E) est aussi valable pour un module (à gauche) E sur un anneau quelconque A ; mais, ici, la structure de ce groupe dépend de façon essentielle de la structure de l'anneau A, et on ne connaît de résultats satisfaisants que dans un petit nombre de cas particuliers.

La notion de groupe orthogonal O(Φ) se généralise aussi au cas où E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, que nous supposerons en outre de caractéristique ≠ 2 (la caractéristique 2 introduit ici des phénomènes spéciaux) ; Φ est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur E. Il faut remarquer d'abord qu'il y a toujours ici des bases orthogonales (e_j) de E pour la forme Φ, c'est-à-dire Φ(e_i, e_j) = 0 pour i ≠ j ; mais, si l'on pose Φ(e_i, e_i) = α_i, il n'est pas possible en général d'obtenir une base orthogonale pour laquelle α_i = ± 1 pour tout i ; la notion de signature de Φ n'a pas de sens lorsque K n'est pas un corps ordonné. Par contre, la définition des vecteurs et sous-espaces isotropes subsiste sans modification ; on appelle encore indice de Witt de Φ la dimension maximale v des sous-espaces totalement isotropes, et on a 2 v ≤ n. Il faut noter que, lorsque K est algébriquement clos (par exemple K = C), on a toujours v = [n/2], partie entière de n/2 ; si K est fini, on a v = [n/2] pour n impair, v = n/2 ou n/2 − 1 si n est pair.

Tout ce qui a été dit dans le chapitre 3 sur les involutions de O(Φ) subsiste sans changement dans le cas général. Les questions de transitivité sont résolues par le théorème de Witt : Soit deux sous-espaces vectoriels V₁ et V₂ de même dimension dans E, pour qu'il existe une transformation u ∈ O(Φ) telle que u(V₁) = V₂, il faut et il suffit que les restrictions de Φ à V₁ et à V₂ soient des formes équivalentes (dégénérées ou non). On peut encore alors transformer V₁ en V₂ par une rotation, sauf dans le même cas d'exception que pour K = R (cf. Propriétés de transitivité, in chap. 3).

Le groupe O⁺(Φ) est encore commutatif pour n = 2 ; il est formé des matrices :

telles que α₁ξ² + α₂η² = α₁ ; si − α₂/α₁ n'est pas un carré dans K, ce groupe est isomorphe au groupe multiplicatif des éléments de norme 1 dans l'extension quadratique K(√− α₂/α₁) de K ; sinon, il est isomorphe à K * × K *.

Il n'y a rien d'analogue en général à la prétendue « mesure » des angles ; autrement dit, il n'existe pas en général d'homomorphisme du groupe additif de K sur le groupe des rotations O⁺(Φ).

Lorsque n ≥ 3, il faut distinguer, dans l'étude de la structure du groupe O⁺(Φ), le cas v ≥ 1 et le cas v = 0.

Pour v ≥ 1 (autrement dit, lorsqu'il existe des vecteurs isotropes ≠ 0), on considère le groupe Ω(Φ) ⊂ O⁺(Φ) des commutateurs de O(Φ). Le quotient O⁺(Φ)/Ω(Φ) est isomorphe à K*/K*², en désignant par K*² le groupe des carrés des éléments ≠ 0 de K ; si n est pair, le groupe Ω(Φ) ∩ Z₀ est égal à Z₀ si et seulement si le discriminant de Φ est un carré dans K. Le groupe :

est simple pour n ≥ 5. Pour n = 3, Ω(Φ) est isomorphe à SL(E)/Z₀, donc simple sauf si K a trois éléments ; pour n = 4 et v = 1, le discriminant Δ de Φ ne peut être un carré dans K ; Ω(Φ) est alors simple et isomorphe à SL(F), où F est un espace vectoriel de dimension 2 sur K(√Δ). Enfin, pour n = 4 et v = 2, le groupe :

est isomorphe au produit :

dont les facteurs sont simples si K ≠ F₃.

Le cas v = 0 (absence de vecteurs isotropes ≠ 0) est tout à fait différent, et la structure de O(Φ) dépend essentiellement du corps de base K. Prenons par exemple n = 3 et, pour Φ, le produit scalaire usuel :

mais sur le corpsQ des nombres rationnels ; les matrices U = (α_ij) ont donc leurs éléments rationnels, vérifiant en particulier les équations :

pour i = 1, 2, 3. Or, pour toute solution de l'équation :

en nombres rationnels (supposés réduits en fractions irréductibles), le dénominateur de chaque r_i n'est pas divisible par 2. Supposons en effet le contraire : on voit alors aussitôt qu'on aurait une relation de la forme :

ou k est un entier > 0, m un entier impair, p₁, p₂, p₃ des entiers dont l'un au moins est impair ; mais il est immédiat de vérifier que, dans ces conditions, la somme p₁² + p₂² + p₃² n'est jamais multiple de 4, d'où notre assertion.

Cela étant, pour tout entier r ≥ 1, soit G, le sous-groupe de O(Φ) formé des matrices de la forme I + 2^rV, où V est une matrice à coefficients rationnels dont les dénominateurs ne sont pas divisibles par 2. Pour toute matrice U ∈ O(Φ), on a alors :

en vertu de ce qui précède. Par suite, chaque G_r est un sous-groupe distingué de O(Φ) ; on montre qu'ils sont tous différents et forment une suite descendante :

Si K = Q, le phénomène précédent ne peut se produire que pour les dimensions 3 et 4 ; mais on peut, pour toute valeur de n, donner des exemples de corps K et de forme Φ pour lequel on a une suite infinie décroissante de sous-groupes distingués de O(Φ).