GROUPES (mathématiques) Groupes classiques et géométrie

Groupes symplectiques et groupes unitaires

Deux autres types de groupes « classiques » ont été étudiés depuis le milieu du xix^e siècle. Si E est un espace vectoriel sur un corps (commutatif) K de dimension finie n, une forme bilinéaire alternée Φ sur E ne peut être non dégénérée que si n = 2 ν est pair. Il existe alors une base :

de E (dite base symplectique) telle que :

pour 1 ≤ i ≤ ν, et :

pour tout autre couple d'indices, de sorte que l'on a :

toutes les formes alternées non dégénérées sont équivalentes. On appelle groupe symplectique (sur K) et on note Sp(2^ν, K) le sous-groupe formé des u ∈ GL(E) tels que :

pour x, y dans E.

Considérons maintenant un corps K (non nécessairement commutatif) muni d'une involution :

distincte de l'identité, c'est-à-dire une bijection de K sur lui-même telle que :

soit E un espace vectoriel à gauche de dimension finie sur K, et soit Φ une forme hermitienne non dégénérée sur E (pour l'involution donnée) ; le groupe U(Φ) des u ∈ GL(E) tels que :

pour x, y dans E est appelé le groupe unitaire relatif à Φ. Lorsque K est commutatif, les u ∈ U(Φ) tels que (det u)(det u)* = 1 forment un sous-groupe distingué U⁺(Φ), ou SU(Φ), dit groupe spécial unitaire.

Pour le groupe symplectique et pour le groupe unitaire, les définitions des vecteurs et des sous-espaces orthogonaux, des sous-espaces totalement isotropes, des sous-espaces isotropes et de l' indice de Witt sont les mêmes que dans le chapitre 4. Pour le groupe symplectique, tout vecteur est isotrope et l'indice de Witt est n/2 ; les transvections (cf. Générateurs, in chap. 1) appartenant à Sp(2 ν, K) sont celles pour lesquelles l'hyperplan H de la transvection (toujours isotrope) est orthogonal à la droite D de la transvection ; les transvections symplectiques engendrentSp(2 ν, K), donc det(u) = 1 pour tout u ∈ Sp(2 ν, K). Le centre de Sp(2 ν, K) est Z₀. Pour p premier, désignons par F_p le corps fini des entiers relatifs modulo p. Le groupe Sp(2 ν, K)/Z₀ est simple pour ν ≥ 1, sauf lorsque ν = 1 et K = F₂ ou K = F₃, et lorsque ν = 2 et K = F₂ ; dans ce dernier cas, Sp(4, F₂)/Z₀ est isomorphe au groupe symétrique Σ₆. Pour ν = 1, Sp(2, K) = SL(2, K).

Lorsque n = 4, les plans totalement isotropes de E correspondent, dans l'espace projectif P(E), aux droites d'un complexe linéaire, et le groupe Sp(4, K)/Z₀ est le groupe qui laisse ce complexe invariant, d'où son nom.

Pour les groupes unitaires, on a ν ≤ n/2, mais ν peut prendre toutes les valeurs entières remplissant cette condition. Pour ν > 0, il existe dans U(Φ) des transvections dont l'hyperplan H est nécessairement isotrope et la droite D est orthogonale à H. Ces transvections engendrent un sous-groupe distingué T(Φ) de U(Φ) dont le centre W(Φ) est égal à T(Φ) ∩ Z(E) ; le groupe T(Φ)/W(Φ) est simple, sauf lorsque K = F₉ et n = 2, ou lorsque K = F₄, n = 2 et n = 3 ; T(Φ), pour n = 2 et K commutatif, s'identifie à SL(2, K₀), où K₀ est le sous-corps des invariants de l'involution de K. Lorsque K est commutatif, on a T(Φ) = U⁺(Φ), sauf lorsque n = 3 et K = F₄. Lorsque ν ≥ 2, ou lorsque n ≥ 3 et que K est de rang fini sur son centre, T(Φ) est le groupe des commutateurs de U(Φ) ; par contre, pour n = 2, il y a des corps non commutatifs de rang 4 sur leur centre tels que T(Φ) ne soit pas le groupe des commutateurs de U(Φ), le quotient U(Φ)/T(Φ) pouvant avoir des facteurs de composition simples (non commutatifs). Pour ν = 0, les mêmes phénomènes que pour les groupes orthogonaux peuvent se produire.

— Jean DIEUDONNÉ

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