GROUPES (mathématiques) Groupes de Lie

La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles et la géométrie différentielle. Leur étude générale a mis plus tard en évidence un certain nombre d'objets mathématiques particuliers, explicitement définis, les groupes semi-simples, dont on a peu à peu découvert le rôle fondamental dans presque toutes les parties des mathématiques modernes, même les plus éloignées en apparence des vues initiales de Lie. En outre, ces groupes semblent intervenir de façon de plus en plus profonde dans les conceptions récentes de la physique théorique, surtout en théorie de la relativité et en mécanique quantique.

On suppose connues les notions fondamentales relatives aux variétés différentielles et analytiques. On utilisera systématiquement ici les notions introduites dans l'article sur les groupes classiques, qui constituent les premiers et les plus importants exemples de groupes de Lie.

La structure des groupes de Lie généraux

Un groupe de Lie (appelé aussi groupe de Lie réel) est, par définition, une variété analytique réelle G (dite sous-jacente au groupe), munie d'une loi de composition (x, y) ↦ xy pour laquelle G est un groupe, et qui est telle que l'application (x, y) ↦ xy^-1 de G × G dans G soit analytique. Une variété analytique complexe G munie d'une loi de composition (x, y) ↦ xy pour laquelle G est un groupe, et qui est telle que (x, y) ↦ xy^-1 soit une application holomorphe de G × G dans G, est appelée groupe de Lie complexe ; un tel groupe peut évidemment aussi être considéré comme groupe de Lie réel (dit sous-jacent au groupe de Lie complexe), en n'envisageant que sa structure de variété analytique réelle. Dans un groupe de Lie réel (resp. complexe) G, les translations x ↦ ax, x ↦ xa et les automorphismes intérieurs :

Un sous-groupe de Lie (resp. sous-groupe de Lie complexe) H d'un groupe de Lie (resp. groupe de Lie complexe) G est un sous-groupe de G dont l'ensemble sous-jacent est une sous-variété fermée de la variété sous-jacente à G. On montre qu'un sous-groupe fermé d'un groupe de Lie G est nécessairement un sous-groupe de Lie de G (mais non nécessairement un sous-groupe de Lie complexe lorsque G est un groupe de Lie complexe).

Ainsi, le groupe linéaire GL (n, R) (resp. GL(n, C)) est un groupe de Lie réel (resp. complexe) de dimension (resp. de dimension complexe) n² ; le groupe unimodulaire SL(n, R) (resp. SL(n, C)) en est un sous-groupe de Lie (resp. un sous-groupe de Lie complexe) de dimension (resp. de dimension complexe) n² − 1. Le groupe orthogonal O(n, R) (resp. O(n, C)) est un sous-groupe de Lie (resp. un sous-groupe de Lie complexe) de GL(n, R) (resp. GL(n, C) de dimension (resp. de dimension complexe) n(n − 1)/2.

Un homomorphisme f : G → G′ de groupes de Lie (resp. de groupes de Lie complexes) est un homomorphisme de groupes qui est en même temps une application analytique (resp. holomorphe). Le noyau f^-1(e′) est un sous-groupe de Lie (resp. un sous-groupe de Lie complexe) de G. Par contre, l'image f (G) est un sous-groupe de G′ qui n'est pas nécessairement fermé.

On se bornera, dans ce chapitre, aux propriétés des groupes de Lie réels ; lorsqu'on mentionnera un groupe de Lie complexe, par exemple [...]