GROUPES (mathématiques) Groupes de Lie

Actions des groupes de Lie

Les groupes de Lie ont d'abord été étudiés en tant que groupes de transformations de certains espaces, plutôt que pour eux-mêmes ; et, dans la théorie moderne, les diverses façons dont un groupe de Lie peut être considéré comme groupe de transformations jouent encore un grand rôle. Les actions ou opérations d'un groupe de Lie se définissent comme pour les groupes quelconques (cf. groupes [mathématiques] – Représentation linéaire des groupes), mais on n'envisage d'ordinaire que des actions d'un groupe de Lie G sur une variété analytique X, et on exige que l'application (s, x) ↦ s . x de G × X dans X soit analytique. Pour tout s ∈ G, l'application x ↦ s . x est alors un isomorphisme de la variété X sur elle-même ; pour tout x ∈ X, l'ensemble S_x des s ∈ G tels que s . x = x est un sous-groupe fermé de G appelé stabilisateur de x. L' orbite G . x de x est l'ensemble des s . x pour s ∈ G ; les orbites sont les classes d'équivalence d'une relation d'équivalence R dans G ; elles ne sont pas nécessairement fermées dans X et peuvent être en fait des ensembles très compliqués. Leur étude générale n'a guère été poussée que pour G = R ou G = Z.

L'ensemble X/G des orbites ne peut en général être muni d'une structure de variété analytique telle que l'application canonique π : X → X/G (qui fait correspondre à un point son orbite) soit une submersion ; pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'ensemble Γ_R ⊂ X × X des couples (x, y) appartenant à une même orbite soit une sous-variété fermée de X × X ; toute orbite est alors une sous-variété fermée de X.

Un cas où la variété des orbites existe toujours est celui où G est un sous-groupe fermé d'un groupe de Lie H, le groupe G opérant dans H par translation à droite (s, x) ↦ xs avec s ∈ G, x ∈ H, de sorte que les orbites sont les classes à gauche xG dans H. La variété des orbites H/G est alors appelée l'espace homogène des classes à gauche suivant G ; le groupe de Lie H opère à gauche sur H/G par (z, xG) ↦ zxG. Lorsqu'un groupe de Lie G opère sur une variété X de sorte que la variété des orbites X/G soit définie, l'orbite d'un point x est canoniquement isomorphe à l'espace homogène G/S_x.

Le fait pour une variété analytique de X de pouvoir être considérée comme espace homogène H/G d'un groupe de Lie H implique l'existence sur X d'une « géométrie » où se reflètent les propriétés des groupes H et G : c'est l'idée directrice exprimée d'abord par F. Klein dans son programme d'Erlangen, et la géométrie euclidienne classique n'apparaît plus ainsi que comme un exemple particulier des « géométries » associées aux groupes de Lie ; les plus intéressantes correspondent au cas où H est un groupe simple (cf. chap. 2) et on a par exemple développé ainsi les « géométries de Tits-Freudenthal » correspondant aux cinq groupes exceptionnels.

Les espaces homogènes G/H les plus importants dans toutes sortes d'applications sont les espaces riemanniens symétriques irréductibles, découverts et entièrement énumérés par É. Cartan au cours de recherches de géométrie riemannienne : ce sont les espaces de la forme G/K, où G est un groupe simple réel de centre fini et K un sous-groupe compact de G, obtenu comme l'ensemble des x ∈ G tels que σ(x) = x où σ est une involution analytique de G (cf. chap. 7). Lorsque G est non compact, K est nécessairement un sous-groupe compact maximal de G, et G/K est difféomorphe à un espace Rⁿ. Si l'on prend G = SL(n, R), par exemple, K = SO(n, R) est l'ensemble des matrices invariantes par l'involution [...]