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GROUPES (mathématiques) Groupes de Lie

Représentations linéaires de dimension finie des groupes de Lie

Les définitions sont données à l'article précédent, qui traite de la représentation linéaire des groupes ; on se bornera aux représentations linéaires dans des espaces vectoriels V (de dimension finie dans ce chapitre) sur le corps C des nombres complexes ; en outre, les représentations linéaires ρ : G → GL(V) d'un groupe de Lie que l'on considère sont supposées analytiques (réelles).

Lorsque le groupe de Lie G est connexe et résoluble, toute représentation irréductible de G est de dimension 1, autrement dit de la forme s ↦ χ(s), où χ est un caractère (abélien) du groupe commutatif G/D(G) ; une représentation quelconque de G s'écrit toujours sous la forme triangulaire :

L'exemple de la représentation linéaire :

de G = R montre qu'une représentation linéaire d'un groupe commutatif n'est pas nécessairement complètement réductible.

En revanche, toute représentation linéaire d'un groupe de Lie G compact ou réductif (c'est-à-dire dont le revêtement universel est produit d'un groupe semi-simple et d'un Rn) est complètement réductible (théorème de H.  Weyl) ; pour les groupes compacts, c'est même vrai sans supposer que G est un groupe de Lie. Tout revient donc à déterminer, dans ces cas, les représentations irréductibles ; cette détermination a été complètement effectuée par É. Cartan au moyen de techniques qui seront esquissées dans le chapitre 6.

La théorie des représentations linéaires des groupes semi-simples généralise la théorie classique des invariants en géométrie projective. Il s'agissait uniquement, dans cette théorie, des représentations des groupes classiques, et surtout de SL(V). Ce groupe opère en effet naturellement dans toute puissance tensorielle V⊗n, et dans le sous-espace des tenseurs symétriques d'ordre n. Ce dernier s'identifie à l'espace vectoriel Fn des polynômes homogènes de degré n à p variables (si p = dim V) ; un élément s ∈ SL(V) opère en transformant un tel polynôme Pn(x1, ..., xp) en le polynôme :

en posant s-1 . xk = ak1x1 + ... + akpxp si s-1 est la matrice (aij). Un invariant dans Fn est un polynôme tel que s . Pn = Pn pour tout s ∈ SL(V) ; cela signifie que Pn engendre dans Fn un sous-espace stable de dimension 1, et, si l'on sait décomposer toute représentation linéaire en représentations irréductibles, on pourra obtenir tous les invariants. D. Hilbert avait démontré (pour SL(V)) qu'il y a un nombre fini de polynômes homogènes invariants I1, I2, ..., Ir tel que tout autre invariant soit de la forme Q(I1, I2, ..., Ir), où Q est un polynôme. Ce théorème s'étend à tous les groupes semi-simples (mais non à tous les groupes de Lie).

Une représentation linéaire :

est dite fidèle si elle est injective. On peut prouver que, pour tout groupe de Lie connexe G, il existe un groupe connexe qui a même revêtement universel que G et qui est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe linéaire GL(V) ; mais le revêtement universel de G n'a pas toujours cette propriété (par exemple pour G = SL(2, R)). Toutefois, tout groupe compact et tout groupe semi-simple complexe est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe linéaire.

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    Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches...

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