GROUPES (mathématiques) Groupes de Lie

Algèbres de Lie

L'outil essentiel dans la démonstration des remarquables résultats qui précèdent est la méthode infinitésimale, inaugurée par S. Lie (1842-1899), qui a pour effet de ramener l'étude des groupes de Lie à l'étude de ce qu'on appelle leurs algèbres de Lie. L'idée est d'étudier les conditions qu'impose l'associativité de la loi d'un groupe G aux séries qui l'expriment dans un voisinage V de e. On suppose choisi un système de coordonnées locales qui s'annulent en e, de sorte que V est identifié à un voisinage de l'origine dans Rⁿ. Soit W un voisinage de 0 tel que W²⊂ V, et x = (x₁, ..., x_n), y = (y₁, ..., y_n) deux points de W ; leur produit z = xy ∈ V étant fonction analytique de x, y par hypothèse, les coordonnées z₁, ..., z_n de z s'expriment par des séries convergentes pour |x_j| < ρ, |y_j| < ρ, 1 ≤ j ≤ n :

1 ≤ j ≤ n, où l'on a employé la notion des multi-indices :

(cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables). Considérons alors une fonction analytique :

donc développable en série convergente au voisinage de 0 ; si l'on substitue à chaque x_jla série z_j = ϕ_j(x, y) donnée par (1), on obtient une série en les x_j et y_j, et, en groupant les monômes en x^βy^α pour un même α, on obtient ce qu'on peut appeler la formule de Taylor dans le groupe G au voisinage de e :

où on vérifie aisément que :

(combinaison d'un nombre fini de dérivées partielles de f, à coefficients a_αβ analytiques au voisinage de 0). Les applications f ↦ Z_αf sont donc des opérateurs différentiels sur les fonctions analytiques dans G ; en outre, ils ont la propriété fondamentale d'invariance à gauche par le groupe. De façon précise, pour tous s ∈ G assez petit, posons f_s(x) = f (sx). Un opérateur différentiel Z est dit invariant à gauche si Z(f_s) = (Z(f ))_s, pour s assez petit ; pour les Z_α, cela résulte de leur définition (2) et de l'associativité, qui donne f_s(xy) = f ((sx)y). Il est clair que l'ensemble G des opérateurs différentiels invariants à gauche est une algèbre associative sur R, dont on voit aisément que les Z_α forment une base sur R (Z₀ est pris égal à l'identité). En fait, la table de multiplication de la base (Z_α) se détermine explicitement à l'aide des séries (1). On pose en effet, pour tout multi-indice γ = (γ₁, ..., γ_n) :

de sorte que b⁽^j⁾_αβ = c_αβε_{_j}, où ε_jest le multi-indice (δ_ij), avec 1 ≤ i ≤ n ; de plus, on vérifie aussitôt que c_αβγ = 0 pour |α| + |β| < |γ| et que les seuls c_αβγ non nuls tels que |γ| = |α| + |β| sont ceux pour lesquels γ = α + β, qui ont pour valeur :

avec α ! = α₁ ! ... α_n !. Pour tout s assez petit, on peut écrire :

et, en vertu de la formule (2) appliquée en remplaçant f par Z_βf :

Mais, d'autre part, on a aussi, par (2) :

d'où, en comparant à (4), les formules :

qui donnent la table de multiplication. La comparaison des formules (3) et (5) montre que la structure d'algèbre de G et la structure de groupe de G (si G est simplement connexe) se déterminent mutuellement sans ambiguïté.

En particulier, en posant :

on tire de (5), en prenant α = ε_i, β = ε_j :

1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n ; et, en échangeant i et j :

1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n.

Le sous-espace vectoriel g de G, de dimension n, admettant les X_i pour base, est l'ensemble des opérateurs invariants à gauche d'ordre 1 ; les formules (7) montrent que g est stable pour l'opération :

qui vérifie les deux identités :

(identité de Jacobi). Un espace vectoriel sur un corps K dans lequel est défini une loi de composition :

vérifiant ces deux identités et bilinéaire[...]

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Écrit par

Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences

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Théorie des groupes et des algèbres de Lie - crédits : Encyclopædia Universalis France — Théorie des groupes et des algèbres de Lie

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