- 1. La structure des groupes de Lie généraux
- 2. Groupes de Lie compacts et groupes semi-simples
- 3. Actions des groupes de Lie
- 4. Représentations linéaires de dimension finie des groupes de Lie
- 5. Algèbres de Lie
- 6. Algèbres de Lie semi-simples
- 7. Algèbres semi-simples complexes et leurs formes réelles
- 8. Représentations linéaires de dimension infinie
- 9. Généralisations
- 10. Bibliographie
GROUPES (mathématiques) Groupes de Lie
Article modifié le
Algèbres de Lie semi-simples
La notion d'algèbre de Lie résoluble (resp. nilpotente) se définit comme pour les groupes, en remplaçant les groupes Dr(G) (resp. Cr(G)) par les idéaux formés de la façon correspondante dans l'algèbre de Lie g. Si G est un groupe de Lie simplement connexe, R son radical, le plus grand idéal résoluble r de l'algèbre de Lie g de G est l'algèbre de Lie de R, et on l'appelle le radical de g. Une algèbre de Lie g est dite semi-simple si son radical est réduit à {0} (ou, ce qui revient au même, si elle ne contient pas d'idéal commutatif non réduit à {0}. Un groupe de Lie connexe est semi-simple si et seulement si son algèbre de Lie est semi-simple.
On définit d'autre part sur toute algèbre de Lie réelle (resp. complexe) g une forme bilinéaire symétrique réelle (resp. complexe) dite forme de Killing, par la formule :
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Cette forme est étroitement liée à la structure de g par les trois critères de Cartan :
– Pour que g soit résoluble, il faut et il suffit que (X|Y) = 0 pour X ∈ g et Y ∈ [g, g].
– Pour que g soit semi-simple, il faut et il suffit que la forme de Killing soit non dégénérée.
– Pour qu'une algèbre de Lie réelle g soit l'algèbre de Lie d'un groupe compact, il faut et il suffit que (X|X) ≤ 0 dans g.
On peut parvenir à la détermination de la structure d'un groupe compact semi-simple G, en analysant sa représentation adjointe. Il est commode de commencer par étendre canoniquement chaque endomorphisme Ad(s) (pour s ∈ G) de l'algèbre de Lie g à un endomorphisme de sa complexifiée gc = g ⊗R C, de sorte qu'on peut considérer G comme opérant par s ↦ Ad(s) soit sur g, soit sur gc. L'idée fondamentale est de restreindre la représentation adjointe à un tore maximal T de G ; comme T est compact et commutatif et que la forme de Killing est invariante par tout automorphisme de g et négative non dégénérée, cette représentation est complètement réductible, donc g se décompose en somme directe de sous-espaces Ek, deux à deux orthogonaux pour (X|Y), de dimension 1 ou 2 sur R, et stables par Ad(s), s ∈ T ; mais le cas dim(Ek) = 1 est à exclure, car le groupe à un paramètre engendré par un élément de Ek commuterait alors avec T, contrairement à l'hypothèse que T est maximal. Alors :
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![](/media_src/v10f1003c07.png)
En outre, pour deux racines quelconques α, β, le nombre β(Hα) est égal à p − q, où p et q sont deux entiers positifs ou nuls tels que les entiers k vérifiant − p ≤ k ≤ q soient exactement ceux pour lesquels β + kα est une racine (on montre qu'on a toujours p + q ≤ 3) ; enfin :
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Écrit par
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
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Médias
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Voir aussi
- ORBITE, mathématiques
- GROUPE SIMPLE
- GROUPE SEMI-SIMPLE
- OPÉRATION D'UN GROUPE
- ALGÈBRES
- GROUPE RÉSOLUBLE
- CARACTÈRE, mathématiques
- REPRÉSENTATION LINÉAIRE DES GROUPES
- GROUPE ALGÉBRIQUE
- P-ADIQUES NOMBRES
- LIE ALGÈBRES DE
- BESSEL FONCTIONS DE
- AUTOMORPHE FONCTION
- GROUPE COMMUTATIF ou GROUPE ABÉLIEN
- TAYLOR FORMULE DE
- LAPLACIEN
- GROUPE ORTHOGONAL
- GROUPE UNIMODULAIRE ou GROUPE LINÉAIRE SPÉCIAL
- JACOBI IDENTITÉ DE
- ESPACE SYMÉTRIQUE
- GROUPE COMPACT