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GROUPES (mathématiques) Groupes de Lie

Algèbres de Lie semi-simples

La notion d'algèbre de Lie résoluble (resp. nilpotente) se définit comme pour les groupes, en remplaçant les groupes Dr(G) (resp. Cr(G)) par les idéaux formés de la façon correspondante dans l'algèbre de Lie g. Si G est un groupe de Lie simplement connexe, R son radical, le plus grand idéal résoluble r de l'algèbre de Lie g de G est l'algèbre de Lie de R, et on l'appelle le radical de g. Une algèbre de Lie g est dite semi-simple si son radical est réduit à {0} (ou, ce qui revient au même, si elle ne contient pas d'idéal commutatif non réduit à {0}. Un groupe de Lie connexe est semi-simple si et seulement si son algèbre de Lie est semi-simple.

On définit d'autre part sur toute algèbre de Lie réelle (resp. complexe) g une forme bilinéaire symétrique réelle (resp. complexe) dite forme de Killing, par la formule :

Cette forme est étroitement liée à la structure de g par les trois critères de Cartan :

– Pour que g soit résoluble, il faut et il suffit que (X|Y) = 0 pour X ∈ g et Y ∈ [g, g].

– Pour que g soit semi-simple, il faut et il suffit que la forme de Killing soit non dégénérée.

– Pour qu'une algèbre de Lie réelle g soit l'algèbre de Lie d'un groupe compact, il faut et il suffit que (X|X) ≤ 0 dans g.

On peut parvenir à la détermination de la structure d'un groupe compact semi-simple G, en analysant sa représentation adjointe. Il est commode de commencer par étendre canoniquement chaque endomorphisme Ad(s) (pour s ∈ G) de l'algèbre de Lie g à un endomorphisme de sa complexifiée gc = g ⊗R C, de sorte qu'on peut considérer G comme opérant par s ↦ Ad(s) soit sur g, soit sur gc. L'idée fondamentale est de restreindre la représentation adjointe à un tore maximal T de G ; comme T est compact et commutatif et que la forme de Killing est invariante par tout automorphisme de g et négative non dégénérée, cette représentation est complètement réductible, donc g se décompose en somme directe de sous-espaces Ek, deux à deux orthogonaux pour (X|Y), de dimension 1 ou 2 sur R, et stables par Ad(s), s ∈ T ; mais le cas dim(Ek) = 1 est à exclure, car le groupe à un paramètre engendré par un élément de Ek commuterait alors avec T, contrairement à l'hypothèse que T est maximal. Alors :

est somme directe de deux sous-espaces E′k et E″k de dimension 1 sur C, dans lesquels on a :
respectivement, où χk est un caractère de T ; en vertu de (11), il revient au même de dire que, pour tout
t = Lie(T), on a :
avec χk(exp(H)) = exp 2 πiαk(H), où αk est une forme linéaire non identiquement nulle sur h, à valeurs réelles dans t ; on dit que les αk sont les racines de gc relativement à la sous-algèbre commutative maximale h. L'identité de Jacobi et le fait que h est maximale montrent que [E′k, E″k] ⊂ h ; on constate alors que la somme directe :
est une sous-algèbre de gc avec une base vérifiant (10), elle est donc isomorphe à sl(2,C). Une analyse élémentaire des représentations irréductibles de sl(2, C) permet d'obtenir les résultats fondamentaux suivants : toutes les racines αk (1 ≤ k ≤ (n − m)/2 si n = dim G, m = dim T) sont distinctes ; on peut donc prendre leur ensemble R comme ensemble d'indices, écrire gα et g-α au lieu de E′k et E″k, et déterminer dans chaque gα un élément Xα, de sorte que, si l'on pose :
on obtienne :

En outre, pour deux racines quelconques α, β, le nombre β(Hα) est égal à p − q, où p et q sont deux entiers positifs ou nuls tels que les entiers k vérifiant − p ≤ k ≤ q soient exactement ceux pour lesquels β + kα est une racine (on montre qu'on a toujours p + q ≤ 3) ; enfin :

et l'on peut montrer que :
où l'entier p a été défini ci-dessus[...]

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    • Écrit par
    • 7 143 mots
    La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et...

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    En 1992, le mathématicien Armand Borel a reçu le prix international Balzan « pour ses contributions fondamentales à la théorie des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes arithmétiques, et pour son action inlassable en faveur de la recherche mathématique et de la propagation...

  • BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)

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    Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches...

  • CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

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