GROUPES (mathématiques) Groupes de Lie

Algèbres semi-simples complexes et leurs formes réelles

Dans le chapitre 6, en partant de l' algèbre de Lie d'un groupe semi-simple compact, on a obtenu, en la complexifiant, une algèbre de Lie semi-simple complexe. Ce processus admet une réciproque, qui établit une correspondance biunivoque entre groupes connexes semi-simples complexes et groupes connexes semi-simples compacts.

L'unique méthode connue pour établir ce fait est due à Killing et É. Cartan, et est fort longue : on commence par démontrer, dans une algèbre semi-simple complexeg de dimension n sur C, l'existence d'une sous-algèbre commutative maximale h (sous-algèbre de Cartan) telle que la relation ad(X)(h) ⊂ h entraîne X ∈ h. En étudiant la représentation adjointe H ↦ ad(H) de h dans l'espace vectoriel g, on arrive alors à décomposer g en somme directe de h et de sous-espaces CX_α de dimension 1, où les X_α vérifient les relations (13) à (16). On voit aisément que l'espace vectoriel réel u engendré par les iH_α, les X_α − X_−α et les i(X_α + X_−α) est une algèbre de Lie réelle dans laquelle la forme de Killing est négative non dégénérée ; donc u est l'algèbre de Lie d'un groupe compact semi-simple U, et g = u ⊕ iu. Les iH_α engendrent une sous-algèbre (réelle) commutative maximale t de u (correspondant à un tore maximal T de U), et on a h = t ⊕ it.

Si l'on choisit une base (α_j), avec 1 ≤ j ≤ m, du système des racines de g, la sous-algèbre (complexe) n⁺ (resp. n^-) de g ayant pour base les X_α pour α > 0 (resp. α < 0) est une sous-algèbre nilpotente ; on a :

et b = h ⊕ n⁺ est une sous-algèbre résoluble maximale de g. Si G est un groupe de Lie (complexe) connexe d'algèbre de Lie g et B le sous-groupe connexe de G correspondant à b, B est donc un sous-groupe résoluble connexe maximal de G. Les sous-groupes ayant ces trois propriétés sont appelés sous-groupes de Borel de G ; ils sont tous conjugués dans G. On montre que B est son propre normalisateur dans G, et que l'espace homogène G/B est compact et peut canoniquement être muni d'une structure de variété algébrique projective sur C. En outre, les doubles classes BsB forment une partition de G qui est canoniquement indexée par le groupe de Weyl W de U (décomposition de Bruhat) : de façon précise, pour tout w ∈ W, il existe, dans le normalisateur de T dans U, un élément n_w tel que Ad(n_w) laisse stable h et induise sur h la contragrédiente de w considéré comme opérant dans h* (cf. chap. 6) ; l'application w ↦ Bn_wB est une bijection de W sur l'ensemble des doubles classes modulo B.

Dans SL(n, C), par exemple, un groupe de Borel est le groupe trigonal large supérieur T(n, C) (cf. chap. 1).

Le groupe de Borel permet de donner une expression explicite de la représentation linéaire de G correspondant à une représentation linéaire de g de poids dominant ω. Supposons, pour simplifier, G simplement connexe, et soit M le sous-groupe connexe de G correspondant à h, qui est isomorphe à (C*)^m (« groupe de type multiplicatif ») ; on déduit de ω un homomorphisme ψ_ω : M → C* défini par :

coïncidant dans T avec le caractère χ_ω ; si N⁺ est le sous-groupe de B correspondant à n⁺, on a B = M . N⁺ et on prolonge ψ_ω en un homomorphisme de B dans C* en lui donnant la valeur 1 dans N⁺. Soit alors V_ω l'espace vectoriel des fonctions f holomorphes dans G et vérifiant l'identité :

pour x ∈ G et b ∈ B. On peut faire opérer linéairement G dans V_ω en posant :

pour s, x dans G. On prouve que V_ω est de dimension finie, que la représentation de G dans Vω ainsi définie est irréductible et que sa contragrédiente a pour caractère χ_ω.

On dit qu'une algèbre semi-simple g₀ sur R est une forme réelle de g si g est isomorphe à la complexifiée :

de g₀ ; il est immédiat qu'il[...]

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Écrit par

Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences

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