- 1. La structure des groupes de Lie généraux
- 2. Groupes de Lie compacts et groupes semi-simples
- 3. Actions des groupes de Lie
- 4. Représentations linéaires de dimension finie des groupes de Lie
- 5. Algèbres de Lie
- 6. Algèbres de Lie semi-simples
- 7. Algèbres semi-simples complexes et leurs formes réelles
- 8. Représentations linéaires de dimension infinie
- 9. Généralisations
- 10. Bibliographie
GROUPES (mathématiques) Groupes de Lie
Représentations linéaires de dimension infinie
La description des représentations irréductibles d'un groupe semi-simple complexe donnée dans (21) et (22) est un exemple particulier de l'idée fondamentale de représentation linéaire induite, initialement introduite par Frobenius pour les groupes finis, appliquée aux groupes de Lie.
D'une façon générale, soit G un groupe de Lie, Γ un sous-groupe fermé de G, F un espace vectoriel complexe de dimension finie, et ξ ↦ L(ξ) une représentation linéaire de Γ dans F. Soit alors V un espace vectoriel (en général de dimension infinie) de fonctions définies dans G et vérifiant l'identité :
L'exemple des représentations de dimension finie donné dans (21) et (22) correspond au cas où L est une représentation de dimension 1 et où V est de dimension finie. Le cas le plus étudié en dehors de ce dernier est celui où L est une représentation unitaire (autrement dit, L(ξ) laisse invariant un produit scalaire euclidien dans F) ; si f vérifie (23), on a ∥f (xξ)∥ = ∥f (x)∥ pour la norme euclidienne dans F, et on peut considérer f comme définie dans G/Γ ; on définit alors V comme l'espace de Hilbert des fonctions f sur G/Γ telles que :
En premier lieu, on rencontre ainsi de façon naturelle de nombreuses fonctions spéciales, dont on peut ainsi faire une théorie unifiée et « expliquer » maintes propriétés qui paraissaient fortuites.
Les exemples les plus simples s'obtiennent lorsqu'on prend G = U, groupe compact semi-simple, et Γ = K0 (notations du chap. 7). Alors toutes les représentations de U dans un espace de Hilbert V se décomposent en représentations de dimension finie, le groupe U opérant pour ces représentations dans des sous-espaces de dimension finie Vj de V, dont la somme est directe et partout dense. É. Cartan s'est le premier aperçu que les fonctions constituant les Vj ont des propriétés remarquables. Pour U = SO(3, R), K = SO(2, R), par exemple, on obtient ainsi les fonctions sphériques classiques définies sur U/K = S2 (sphère à 2 dimensions) comme restrictions des polynômes harmoniques homogènes dans R3.
On obtient d'autres fonctions spéciales, telles que les fonctions de Bessel ou les fonctions hypergéométriques, en prenant pour G certains groupes de dimension 4.
Si on prend pour G un groupe semi-simple et pour Γ un sous-groupe discret convenable, on obtient cette fois comme fonctions « spéciales » ce qu'on appelle des fonctions (ou formes) automorphes, qui constituent une vaste généralisation des « fonctions fuchsiennes » de H. Poincaré.
Les fonctions appartenant à V ne sont pas nécessairement continues dans G, mais on peut montrer qu'il y a toujours un sous-espace dense V0 de V, stable pour la représentation de G et tel que, pour tout X ∈ g (algèbre de Lie de G), la dérivée pour t = 0 de l'application t ↦ exp(tX) . f existe pour tout f ∈ V0. Si on note ρ(X) . f cette limite, ρ(X) devient un opérateur linéaire de l'algèbre de Lie g dans l'espace (de dimension infinie en général) V0.
En physique quantique, V est un espace de « fonctions d'ondes », et G est soit le « groupe de Poincaré » (produit semi-direct du groupe de Lorentz SO(3, 1) et du groupe commutatif R4), soit (dans la théorie récente des « particules élémentaires[...]
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Écrit par
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
Classification
Médias
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