GROUPES (mathématiques) Groupes de Lie

Généralisations

On constate que les groupes semi-simples complexes sont des groupes linéaires algébriques, c'est-à-dire des sous-groupes G de groupes linéaires GL(n, C), définis par des équations algébriquesentre les éléments des matrices de G. On sait d'autre part que les groupes classiques peuvent être aussi définis pour un corps de base K quelconque au lieu du corps C. On est donc conduit à se demander s'il n'existe pas une « théorie de Lie » pour les groupes linéaires sur un corps quelconque K et, comme ici il n'y a plus de notions topologiques, on les remplace par la restriction que les groupes considérés sont algébriques au sens ci-dessus.

On peut alors développer toute une théorie dont les résultats (mais non les méthodes) se calquent sur ceux de la théorie des groupes de Lie (Borel-Chevalley). On définit une notion (algébrique) de « connexion » et des notions telles que celle de radical, de groupe semi-simple ou de sous-groupe de Borel d'un groupe algébrique exactement comme pour les groupes de Lie. Le résultat le plus remarquable est que, lorsque le corps de base K est algébriquement clos (mais de caractéristique quelconque), les groupes semi-simples sont encore donnés par la classification de Killing-Cartan. Il n'y a plus ici de méthode « infinitésimale » à proprement parler, bien qu'on puisse encore définir une algèbre de Lie g (et même une algèbre associative G) associée à un groupe linéaire algébrique G ; mais son utilité est bien moindre que dans la théorie classique. Les raisonnements essentiels sont de nature globale et reposent sur le fait que, pour un sous-groupe de Borel B de G, le quotient G/B est encore muni d'une structure de variété algébrique projective. En outre, on étend encore à ce cas la décomposition de Bruhat (cf. chap. 7), qui joue également un rôle important dans les démonstrations.

Aux groupes linéaires algébriques définis sur le corps des rationnels Q est maintenant rattachée la théorie des groupes arithmétiques : si G est un sous-groupe algébrique de GL(n, Q), on dit qu'un sous-groupe Γ de G est arithmétique s'il laisse stable un réseau, c'est-à-dire un sous-Z-module de Qⁿ engendré par une base de Qⁿ. Par exemple, SL(n, Z) est un groupe arithmétique dans SL(n, Q). En considérant G et Γ comme sous-groupes du groupe de Lie G_R (ensemble des matrices de GL(n, R) vérifiant les mêmes équations algébriques que celles qui définissent G) et en utilisant à fond les techniques de la théorie des groupes semi-simples (notamment les décompositions de Bruhat et d'Iwasawa), on retrouve la théorie de la « réduction » des formes quadratiques à coefficients entiers de Hermite-Minkowski et le théorème de finitude de Jordan sur les classes de formes de degré ≥ 3 à coefficients entiers, et on les généralise considérablement.

Au lieu de considérer G comme plongé dans G_R, on peut aussi le considérer comme plongé dans G_Qp, où Q_p est le corps des nombres p-adiques (cf. théorie des nombres – Nombres p-adiques). Comme Q_p est ici muni d'une topologie, la correspondance entre algèbre de Lie et groupe de Lie est presque aussi satisfaisante en théorie p-adique que pour les groupes de Lie réels ou complexes. En utilisant à la fois les plongements de G dans G_R et dans les G_Qp correspondant à tous les nombres premiers p, on arrive aux résultats les plus profonds de Minkowski-Siegel sur les formes quadratiques à coefficients entiers, ici encore largement généralisés et placés dans leur cadre naturel. Il est intéressant de noter que, dans cette théorie, un rôle particulièrement important est tenu par les mesures invariantes sur les groupes p-adiques.

Enfin, la théorie des groupes semi-simples est liée de façon inattendue à celle des groupes finis. Si l'on part d'une base de Weyl-Chevalley (cf. chap. 6) d'une algèbre de Lie semi-simple[...]