GROUPES (mathématiques) Groupes finis

Groupes simples

Si H est un sous-groupe distingué d'un groupe fini G, le morphisme surjectif naturel de G sur le groupe quotient G/H, ayant H pour noyau, nous donne une sorte d'analyse du groupe G en les deux groupes H et G/H. Les deux cas H = {1}, et H = G sont triviaux, le groupe G étant alors isomorphe à l'un des deux groupes H et G/H. Dans tous les autres cas, les ordres |G/H| et |H| sont strictement plus petits que l'ordre de G. Les groupes G/H et H sont donc plus simples que G. Le groupe G est appelé simple si G ≠ {1} et si l'on ne peut pas l'analyser ainsi en des groupes d'ordre strictement plus petit, c'est-à-dire si {1} et G sont les seuls sous-groupes distingués de G. Par exemple, pour chaque entier premier p, le groupe cyclique C_p d'ordre p est simple.

Tout groupe fini G peut se décomposer en groupes simples : si G = {1}, il n'y a rien à faire ; si G ≠ {1}, il y a toujours un sous-groupe distingué H₁ de G tel que G/H₁ soit un groupe simple. Si H₁ = {1}, l'analyse est terminée. Sinon, il existe un sous-groupe distingué H₂ de H₁, tel que H₁/H₂ soit un groupe simple. Si on itère cette construction, on aboutit à une suite G = H₀, H₁, H₂, ..., H_n = {1} de sous-groupes de G, où H_i est distingué dans H_i-1, et où H_i-1/H_i est un groupe simple, i = 1, ..., n. Une telle suite s'appelle une suite de Jordan-Hölder du groupe fini G, et les groupes quotients H₀/H₁, H₁/H₂, ..., H_n-1/H_n : s'appellent les facteurs de Jordan-Hölder de G. La terminologie adoptée ici suit N. Bourbaki ; les théoriciens des groupes finis, traditionnellement, continuent à réserver le terme de suite de composition à ce que nous appelons ici suite de Jordan-Hölder.

Considérons, par exemple, le groupe symétrique Σ₄ des permutations de 1, 2, 3, 4. L'ordre de Σ₄ est 4 ! = 24. Le groupe alterné A₄ d'ordre 4 !/2 = 12 est un sous-groupe distingué dans Σ₄, et le groupe quotient Σ₄/A₄ est isomorphe au groupe simple C₂. Les trois permutations (12)(34), (13)(24), (14)(23) forment avec l'identité un sous-groupe V d'ordre 4 dans A₄ qui s'appelle le 4- groupe de Klein. Ce groupe V est distingué dans Σ₄, et donc dans A₄. Le groupe quotient A₄/V est isomorphe au groupe C₃. Le 4-groupe V est commutatif, et tous ses sous-groupes sont distingués. Pour σ = (12)(34), ou σ = (13)(24), ou σ = (14)(23), le sous-groupe {σ, 1} est isomorphe à C₂, ainsi que le groupe quotient V/{σ, 1}. On a donc construit pour Σ₄ une suite de Jordan-Hölder Σ₄, A₄, V, {σ, 1}, {1}, ayant comme facteurs de Jordan-Hölder C₂, C₃, C₂, C₂ (à des isomorphismes près).

Un groupe fini dont chaque facteur de Jordan-Hölder est isomorphe à un C_p, où p est un nombre premier, est dit résoluble. Le groupe Σ₄ est donc résoluble.

Dans l'exemple ci-dessus, il y avait trois choix possibles pour le groupe {σ, 1}. Un groupe G peut donc avoir plusieurs suites de Jordan-Hölder. Il y a malgré tout une certaine unicité des suites de Jordan-Hölder : les facteurs de Jordan-Hölder de G sont indépendants du choix de la suite de Jordan-Hölder (théorème de Jordan-Hölder), c'est-à-dire que, si G = H₀, H₁, ..., H_n = {1}, et G = K₀, K₁, ..., K_m = {1} sont deux suites de Jordan-Hölder de G, on a n = m, et il existe une permutation π de {1, ..., m = n} telle que le groupe H_i-1/H_i soit isomorphe au groupe K_π(i)−1/K_π(i), pour tout i = 1, ..., m = n. Chaque groupe fini peut donc être analysé en groupes simples uniques, qui sont ses facteurs de Jordan-Hölder. D'où l'importance de l'étude des groupes simples.

Les premiers groupes simples non cycliques furent découverts dans la première moitié du xix^e siècle. Les groupes alternés A_n sont des groupes simples, pour tout n ≥ 5. C'est sur cette découverte que repose la démonstration moderne du théorème suivant d'Abel (1824) : Les équations de degré 5 ne sont pas résolubles[...]