GROUPES (mathématiques) Groupes finis

p-groupes

Si H est un sous-groupe d'un groupe fini G, son ordre |H|, son indice [G : H] (c'est-à-dire le nombre de classes à gauche de H dans G) et l'ordre |G| de G sont liés par le théorème de Lagrange (1770) :

En particulier, |H| divise |G|. Soit p un nombre premier et pⁿ la plus grande puissance de p qui divise |G|. Tout p-sous-groupe H de G (c'est-à-dire tout sous-groupe dont l'ordre |H| est une puissance p^k de p) a un ordre |H| ≤ pⁿ. Si |H| = pⁿ, on dit que H est un p-sous-groupe de Sylow de G. Il y a plusieurs théorèmes de Sylow (1872) pour ces sous-groupes :

1. Tout groupe fini G a au moins un p-sous-groupe de Sylow P.

2. Tout autre p-sous-groupe de Sylow Q de G est un conjugué de P, c'est-à-dire que Q = σPσ^-1, pour un élément σ de G.

3. Tout p-sous-groupe H de G est un conjugué d'un sous-groupe de P, c'est-à-dire que τHτ^-1 ⊂ P, pour un élément τ de G.

4. Le nombre l des p-sous-groupes de Sylow de P divise |G| et est de la forme l = 1 + pm, pour un certain entier m.

Le deuxième de ces théorèmes implique que le p-sous-groupe de Sylow P est déterminé, à un isomorphisme près, par le groupe G. On peut donc classer les groupes finis suivant leurs p-sous-groupes de Sylow ; d'où l'importance de la théorie des p-groupes (groupes P dont l'ordre est une puissance p^k> 1 d'un nombre premier p). L'une des propriétés de ces groupes est que leurs centres Z(P) sont toujours non triviaux, soit Z(P) ≠ {1}. Chaque p-groupe P est donc nilpotent (cf. groupes [mathématiques] - Généralités, fin du chap. 3).

Si G est un groupe fini et si E est un sous-ensemble de G, le normalisateur N_G(E) de E dans G est le sous-groupe formé des éléments σ de G, tels que σEσ^-1 = E. On montre alors qu'un groupe fini G est nilpotent si et seulement si tout sous-groupe H de G, différent de G, est strictement contenu dans son normalisateur N_G(H). On peut aussi montrer qu'un groupe fini G est nilpotent si et seulement si G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow G_p pour chaque nombre premier p. Dans ce cas, G est le produit direct de ses uniques sous-groupes de Sylow G_p. Les groupes finis nilpotents sont donc « presque » des p-groupes.

Plusieurs théorèmes relient la structure des normalisateurs N_G(H) des p-sous-groupes H ≠ {1} d'un groupe fini G avec celle de G. Frobenius a, par exemple, donné un critère pour la p-nilpotence de G, c'est-à-dire pour l'existence d'un sous-groupe distingué K dans G tel que P ∩ K = {1} et PK = G pour tout p-sous-groupe de Sylow P. Voici le critère : un groupe fini G est p-nilpotent si le normalisateur N_G(H) est p-nilpotent pour tout p-sous-groupe H ≠ {1} de G. Notons qu'en général ces normalisateurs N_G(H) sont plus petits que G (par exemple, si G est simple et non cyclique).

Certains travaux récents de Thompson ont montré qu'il n'est pas nécessaire de vérifier la p-nilpotence de N_G(H) pour tout p-sous-groupe H de G. Il suffit d'en choisir quelques-uns qui soient significatifs. Le plus important de ses résultats est le suivant : Soit P ≠ {1} un p-sous-groupe de Sylow de G, et soit s le maximum des ordres |S| des sous-groupes commutatifs S de P. L'intersection A des sous-groupes commutatifs S de P, ayant pour ordre |S| = s, est un sous-groupe non trivial et distingué de P. Thompson a montré que le groupe G est p-nilpotent si N_G(A) l'est et si p ≥ 3. Il suffit donc de regarder le normalisateur du seul p-sous-groupe A de G.

Il y a d'autres généralisations du théorème de Frobenius à des théorèmes sur l'existence de p-groupes quotients du groupe G sous certaines conditions sur les normalisateurs des p-sous-groupes de G. Les résultats de ce type jouent un rôle important dans l'étude des groupes simples et, en particulier, dans le théorème de Feit et Thompson.