GROUPES (mathématiques) Représentation linéaire des groupes
Théorie des représentations linéaires d'un groupe fini
La théorie classique trouvée par G. Frobenius, W. Burnside, et I. Schur dans la période 1890-1910 est la base de toutes les généralisations modernes. Cette théorie s'applique aux représentations linéaires d'un groupe fini G sur des espaces vectoriels de dimensions finies (c'est-à-dire ayant une base finie) sur le corps C des nombres complexes.
On cherche, d'abord, à classer les G-espaces, à des isomorphismes près. Un G-espace V est G-isomorphe à un G-espace U s'il existe une application linéaire bijective f de V sur U qui conserve les opérations de G : f (σv) = σf (v), pour tout σ dans G, et tout v dans V, c'est-à-dire si les représentations linéaires sont équivalentes.
L'outil principal de la classification des opérations linéaires de G sur des espaces vectoriels V est la décomposition des espaces V en somme directe de sous-espaces stables. Un sous-espace de V est un sous-ensemble U, qui est fermé pour la formation de combinaisons linéaires d'éléments ; U est donc lui-même un espace vectoriel avec, pour lois de composition, les restrictions des lois de composition de V. Le sous-espace U est stable par G s'il est fermé pour l'opération de G sur U, c'est-à-dire si σu appartient à U pour tout σ dans G et tout u dans U. Dans ce cas, la restriction à U de l'opération de G sur V est une opération linéaire de G sur U. Soit U1, ..., Uk des sous-espaces stables de V. On dit que V est la somme directe U1 ⊕ ... ⊕ Uk des Ui, si tout élément v de V a une expression unique de la forme :
Les éléments u1, ..., uk sont les composantes de v pour la décomposition V = U1 ⊕ ... ⊕ Uk. La correspondance :
Si G opère sur un espace vectoriel U ≠ {0}, et s'il n'y a aucun sous-espace stable par G, sauf U et {0}, on dit que le G-espace U est irréductible. La classification des opérations linéaires d'un groupe fini G sur des espaces vectoriels V de dimension finie sur le corps C des nombres complexes est contenue dans les deux énoncés suivants : (3a) l'espace V a au moins une décomposition : V = U1 ⊕ ... ⊕ Uk, en somme directe de sous-espaces stables et irréductibles U1, ..., Uk ; (3b) si V = U′1 ⊕ ... ⊕ U′l est une autre telle décomposition, alors l = k et, après une permutation convenable des indices, Ui est G-isomorphe à U′i, pour i = 1, ..., k.
Pour tout G-espace irréductible W, on définit la multiplicité, m(W dans V), de W dans V. C'est le nombre des indices i = 1, ..., l pour lesquels W est G-isomorphe à Ui. À cause de (3 b), cette multiplicité est indépendante de la décomposition V = U1 ⊕ ... ⊕ Uk. Donc deux G-espaces V et V′ sont isomorphes si, et seulement si :
Frobenius découvrit une méthode très simple de calcul des multiplicités m(W dans V) en utilisant les caractères. On définit un produit hermitien (f |g)G sur l'espace vectoriel Fct(G, C) de toutes les fonctions de G dans C par :
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Écrit par
- Everett DADE : professeur à l'université de l'Illinois
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