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GROUPES (mathématiques) Représentation linéaire des groupes

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Les généralisations

La théorie classique, exposée ci-dessus, a été au fil des années généralisée de plusieurs façons. L'une d'elles consiste à remplacer le corps C des nombres complexes par un autre corps K. Si le corps K est de caractéristique zéro, ou p (l'entier p étant un nombre premier qui ne divise pas l'ordre fini |G| de G), la théorie des représentations linéaires de G sur les espaces vectoriels de dimension finie sur K se réduit facilement à la théorie classique des caractères complexes de G, et l'on n'obtient aucune notion nouvelle. Par contre, si la caractéristique p de K est un nombre premier qui divise l'ordre |G|, on trouve une nouvelle famille de représentations irréductibles et de caractères de G, les caractères modulaires. L'étude de ces caractères modulaires et de leurs relations avec les caractères complexes, due surtout à R. Brauer, a permis de trouver, pour ces derniers, des lois et identités nouvelles. Plusieurs théorèmes importants sur les groupes simples n'ont pu être démontrés que grâce à la théorie de ces caractères.

Une autre famille de généralisations de la théorie classique concerne les représentations unitaires continues d'un groupe topologique sur un espace de Hilbert. Un groupe topologique G est un groupe muni d'une topologie par rapport à laquelle la multiplication et l'inversion sont des applications continues. Un espace hilbertien V est un espace vectoriel sur les nombres complexes C muni d'un produit hermitien (u | v) (c'est-à-dire une application de V × V dans C telle que l'application u ↦ (u | v) est linéaire pour tout v dans V, (u | v) = (v | u) pour tout u et v dans V, et (u | u) est un nombre réel strictement positif pour tout u ≠ 0 dans V) et complet pour la norme ∥v∥ = (v | v)1/2 définie par ce produit hermitien. Une opération linéaire de G sur V est continue si l'application (σ, u, v) → (σv | u) est continue en tant qu'application de G × V × V dans C. Elle est unitaire si elle conserve le produit hermitien (σv | σv) = (u | v) pour tout σ dans G et tout u, v dans V. On dit, dans ce cas, que V est un G-espace de Hilbert.

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Lorsque le groupe topologique G est compact, la théorie est très semblable à la théorie classique. L'espace V admet alors une décomposition en somme orthogonale :

d'une famille F de sous-espaces stables et irréductibles U. C'est-à-dire que les U sont des sous-espaces fermés de V, deux à deux orthogonaux pour le produit hermitien (u | v), et tout élément v de V admet une décomposition unique :
en une somme convergente en norme de ses composantes vU appartenant à U. Toute autre telle décomposition :
est équivalente à la première, en ce sens qu'il existe une application bijective f de E sur F et, pour tout W de E, une application linéaire bijective g de W sur U = f (W) qui conserve les opérations de G et les produits hermitiens sur les deux sous-espaces W et U. Donc V est déterminé à un isomorphisme près par les multiplicités des G-espaces de Hilbert irréductibles W dans V, c'est-à-dire le nombre de sous-espaces U appartenant à F, tels que U soit G-isomorphe à W.

On peut montrer que toute représentation unitaire continue irréductible d'un groupe compact est de dimension finie. Un groupe compact G possède donc des caractères irréductibles. Ces caractères satisfont aussi aux relations d'orthogonalité (4), où le produit hermitien (χ | ϕ)G est défini par :

l'intégrale étant prise par rapport à la mesure de Haar normalisée (cf. intégration et mesure, chap. 3) :

Lorsque le groupe G n'est pas compact, la théorie est beaucoup moins nette. Au lieu de décomposer V en sommes orthogonales, il faut le décomposer en intégrales orthogonales de G-espaces irréductibles. De telles décompositions, quand elles existent, ne sont pas nécessairement uniques. Les représentations irréductibles peuvent être de dimension infinie, et donc ne pas avoir de caractères. En général, tout devient très compliqué. Il y a néanmoins une théorie assez bonne pour les représentations des groupes classiques qui sont importants en mécanique quantique.

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