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GROUPES (mathématiques) Représentation linéaire des groupes

Les généralisations

La théorie classique, exposée ci-dessus, a été au fil des années généralisée de plusieurs façons. L'une d'elles consiste à remplacer le corps C des nombres complexes par un autre corps K. Si le corps K est de caractéristique zéro, ou p (l'entier p étant un nombre premier qui ne divise pas l'ordre fini |G| de G), la théorie des représentations linéaires de G sur les espaces vectoriels de dimension finie sur K se réduit facilement à la théorie classique des caractères complexes de G, et l'on n'obtient aucune notion nouvelle. Par contre, si la caractéristique p de K est un nombre premier qui divise l'ordre |G|, on trouve une nouvelle famille de représentations irréductibles et de caractères de G, les caractères modulaires. L'étude de ces caractères modulaires et de leurs relations avec les caractères complexes, due surtout à R. Brauer, a permis de trouver, pour ces derniers, des lois et identités nouvelles. Plusieurs théorèmes importants sur les groupes simples n'ont pu être démontrés que grâce à la théorie de ces caractères.

Une autre famille de généralisations de la théorie classique concerne les représentations unitaires continues d'un groupe topologique sur un espace de Hilbert. Un groupe topologique G est un groupe muni d'une topologie par rapport à laquelle la multiplication et l'inversion sont des applications continues. Un espace hilbertien V est un espace vectoriel sur les nombres complexes C muni d'un produit hermitien (u | v) (c'est-à-dire une application de V × V dans C telle que l'application u ↦ (u | v) est linéaire pour tout v dans V, (u | v) = (v | u) pour tout u et v dans V, et (u | u) est un nombre réel strictement positif pour tout u ≠ 0 dans V) et complet pour la norme ∥v∥ = (v | v)1/2 définie par ce produit hermitien. Une opération linéaire de G sur V est continue si l'application (σ, u, v) → (σv | u) est continue en tant qu'application de G × V × V dans C. Elle est unitaire si elle conserve le produit hermitien (σv | σv) = (u | v) pour tout σ dans G et tout u, v dans V. On dit, dans ce cas, que V est un G-espace de Hilbert.

Lorsque le groupe topologique G est compact, la théorie est très semblable à la théorie classique. L'espace V admet alors une décomposition en somme orthogonale :

d'une famille F de sous-espaces stables et irréductibles U. C'est-à-dire que les U sont des sous-espaces fermés de V, deux à deux orthogonaux pour le produit hermitien (u | v), et tout élément v de V admet une décomposition unique :
en une somme convergente en norme de ses composantes vU appartenant à U. Toute autre telle décomposition :
est équivalente à la première, en ce sens qu'il existe une application bijective f de E sur F et, pour tout W de E, une application linéaire bijective g de W sur U = f (W) qui conserve les opérations de G et les produits hermitiens sur les deux sous-espaces W et U. Donc V est déterminé à un isomorphisme près par les multiplicités des G-espaces de Hilbert irréductibles W dans V, c'est-à-dire le nombre de sous-espaces U appartenant à F, tels que U soit G-isomorphe à W.

On peut montrer que toute représentation unitaire continue irréductible d'un groupe compact est de dimension finie. Un groupe compact G possède donc des caractères irréductibles. Ces caractères satisfont aussi aux relations d'orthogonalité (4), où le produit hermitien (χ | ϕ)G est défini par :

l'intégrale étant prise par rapport à la mesure de Haar normalisée (cf. intégration et mesure, chap. 3) :

Lorsque le groupe G n'est pas compact, la théorie est beaucoup moins nette. Au lieu de décomposer V en sommes orthogonales, il faut le décomposer en intégrales orthogonales de G-espaces[...]

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