GROUPES (mathématiques) Représentation linéaire des groupes
Applications aux groupes finis
Les caractères irréductibles χ1, ..., χc d'un groupe fini G forment un outil très puissant dans l'étude de G. On considère leurs valeurs comme des invariants numériques de G, invariants qui doivent satisfaire à plusieurs conditions fortes, comme les relations d'orthogonalité, et qui sont liés à la structure algébrique de G. On combine ces conditions et ces relations pour montrer des théorèmes parfois surprenants sur G.
On utilise d'abord les caractères pour trouver des sous-groupes distingués de G. Pour i = 1, ..., c, soit Wi un G-espace ayant χi pour caractère ; on appelle noyau de χi, le sous-groupe distingué Ker(χi) formé de tous les σ de G opérant trivialement sur Wi par σw = w, pour tout w dans Wi. Il est important de noter que ce sous-groupe distingué est caractérisé par les valeurs de χi : c'est l'ensemble de tous les éléments σ de G tels que χi(σ) = χi(1).
Il n'y a qu'un seul caractère χi tel que Ker(χi) = G, le caractère trivial χ1 dont les valeurs sont χ1(σ) = 1 pour tout σ de G. Pour tout caractère non trivial χi, i ≥ 2, il existe un élément σ de G tel que χi(σ) ≠ χi(1).
On peut aussi montrer que, pour tout élément σ ≠ 1 de G, il existe au moins un caractère non trivial χi tel que χi(σ) ≠ χi(1).
Une connaissance très grossière des valeurs des caractères de G peut permettre de prouver l'existence d'un sous-groupe distingué K qui soit non trivial (K ≠ {1}, K ≠ G). Il suffit de trouver un seul élément σ ≠ 1 et un seul caractère non trivial χi tel que χi(1) = χi(σ). Le sous-groupe K = Ker(χi) est alors un sous-groupe distingué non trivial.
On s'intéresse aux relations entre la structure des sous-groupes de G et les caractères de G. Une de ces relations a trait aux ensembles à intersections triviales. Un tel ensemble S est un sous-ensemble d'un sous-groupe H, appelé normalisateur de S, dont les conjugués σ-1Sσ satisfont à :
Voici un exemple d'un tel ensemble S : pour tout σ de G, on désigne par Rac(σ) l'ensemble de tous les τ de G qui sont racines de σ (il existe n tel que τn = σ). Rac(σ) est un ensemble à intersections triviales, et le sous-groupe H est le normalisateur du sous-groupe cyclique < σ > engendré par σ. C'est le groupe formé de tous les éléments ρ de G, tels que ρ-1 < σ > ρ = < σ >.
Soit ϕ1, ..., ϕc les caractères irréductibles de H. On désigne par X(H | S) le groupe additif formé des combinaisons linéaires :
En combinant cette équation avec la loi de réciprocité (6), on trouve que l'application ψ ↦ ψG est une isométrie X(H | S) ↦ X(G), c'est-à-dire que l'on a :
Frobenius fut le premier à utiliser cette isométrie. Il considéra le cas où S est égal au sous-groupe H moins l'élément neutre 1. On désigne par K le sous-ensemble de tous les éléments τ de G qui n'appartiennent à aucun conjugué σ-1Sσ de S. Le théorème de Frobenius dit que l'ensemble K est un sous-groupe distingué de G. On appelle groupe de Frobenius tout groupe G possédant un sous-groupe H différent de {1} et de G, ayant la propriété énoncée dans le théorème de Frobenius. Le sous-groupe distingué K s'appelle le noyau de Frobenius (cf. groupes [mathématiques] - Groupes finis).
La théorie des caractères exceptionnels est basée sur l'isométrie[...]
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Écrit par
- Everett DADE : professeur à l'université de l'Illinois
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