LEBESGUE HENRI (1875-1941)

Classification des fonctions

René Baire, en répétant des passages à la limite indéfiniment et même transfiniment, avait discerné des propriétés que Lebesgue nomme « qualitatives », pour les distinguer des propriétés numériques, qui établissent une hiérarchie dans une très vaste famille de fonctions dites « fonctions de Baire ». D'autres familles de fonctions, rebelles à l'intégrale de Riemann, peuvent être envisagées grâce à la mesure et à l'intégrale de Lebesgue : elles ne seront régulières que « presque partout », c'est-à-dire à l'exception d'un ensemble de mesure nulle.

Lebesgue nomme mesurables les fonctions f telles que le domaine défini par a < x < b, 0 < y < f (x) a une mesure : ce sont non seulement les fonctions intégrales de Riemann, mais aussi toutes les fonctions de Baire. Si les sommes introduites sont celles (3) de l'intégrale de Lebesgue, la fonction est dite sommable. En langage moderne, elles sont caractérisées par la condition : l'image réciproque par f de tout intervalle est un ensemble mesurable.

Lebesgue montra immédiatement la fécondité de ses conceptions par les théorèmes fondamentaux de passage à la limite : Toute suite convergente de fonctions sommables inférieures à une fonction sommable a une limite sommable et est intégrable terme à terme.

Les théorèmes précédents permettent à Lebesgue de préciser la liaison entre intégrales et primitives, car la dérivée g′(x) considérée comme limite de :

Des travaux de Baire il résulte que, dans tout intervalle, il en existe un où la formule s'applique. Pour obtenir F il fallait donc « raccorder les morceaux ». Ce fut l'œuvre, en particulier, de Arnaud Denjoy.

Concernant la dérivée, Lebesgue obtient l'énoncé : Toute fonction à variation bornée admet une dérivée « presque partout », et cette dérivée est sommable.

Restait à caractériser les fonctions satisfaisant à (I). Ce sont celles dont la variation totale dans un intervalle ouvert U tend vers zéro avec la mesure de U (fonctions absolument continues de Vitali).

Enfin, les généralisations préparent à la notion de mesure de Radon qui englobe l'intégrale de Lebesgue et l'intégrale de Stieljes.

Dès 1903, Lebesgue prouve l'efficacité de ses conceptions en renouvelant la théorie des séries de Fourier. Il en étudie la multiplication, l'intégration terme à terme et la convergence. Pour le cas de divergence, il introduit une fonction ρ(n) dans l'étude des n-ièmes sommes de ces séries (« constantes de Lebesgue » de l'étude de Fejér) et découvre un nouveau type de singularité (singularités de Lebesgue) concernant des fonctions continues dont la série de Fourier converge, mais non uniformément. La sommation est résolue autant qu'elle peut l'être : une fonction est déterminée par sa série de Fourier « presque partout », c'est-à-dire à l'exception d'un ensemble de mesure nulle.

Dès 1899, dans sa première note à l'Académie, Lebesgue généralise des résultats de Baire. En 1905, caractérisant les fonctions de classe 1 de ce dernier, par l'emploi des courbes de Peano, il trouve un résultat inattendu : il existe des fonctions continues sur toute courbe analytique et pourtant discontinues sur tout domaine. Elles sont représentables par des séries de polynomes non uniformément convergentes dans tout domaine et pourtant uniformément convergentes sur toute courbe analytique.

Autre résultat tellement inattendu qu'on le crut faux : en 1903, il montre que toute fonction continue en x et y est représentable par une série uniformément convergente de séries de polynômes[...]