POINCARÉ HENRI (1854-1912)

Analyse, équations différentielles et théorie des fonctions

Dans sa thèse de 1878 sur l'intégration des équations aux dérivées partielles à un nombre quelconque de variables indépendantes, Poincaré développa une méthode de résolution dans la ligne des travaux de Cauchy sur la théorie des fonctions d'une variable complexe. Ce faisant, il proposait des notions nouvelles et importantes pour l'analyse, comme les fonctions à espaces lacunaires et les fonctions algébroïdes.

Il reprit ensuite le problème d'un autre point de vue, considérant des équations différentielles à coefficients réels – et, dans un premier temps, du premier degré – et étudiant, par une approche qualitative, la forme générale des courbes réelles représentant les différentes solutions de l'équation différentielle, avant de s'attacher aux aspects quantitatifs du problème. Il établit que ces courbes sont soit fermées soit spirales, et qu'elles peuvent contenir des points singuliers de diverses sortes, définis par leur rapport aux courbes définies par l'équation. Par les « cols » passent deux courbes ; aux « nœuds », une infinité de courbes se croisent ; les courbes tournent autour des « foyers » en s'en rapprochant indéfiniment ; il existe aussi dans certains cas des « centres » entourés par les courbes qui s'enveloppent successivement. En étudiant la distribution de ces diverses espèces de points, Poincaré établit une relation entre leurs nombres analogue à celle qui avait été établie par Descartes et par Euler entre les nombres de faces, de côtés et d'arêtes d'un polyèdre. Il étendit plus tard ces résultats à des systèmes d'équations différentielles plus généraux. Il put également établir que les solutions réelles d'un tel système peuvent être définies par des séries toujours convergentes de puissances d'une variable auxiliaire réelle, précisant ainsi et généralisant un résultat de Cauchy.

Mais sa découverte la plus importante, faite en 1880, fut celle des fonctions dites aujourd'hui «  automorphes » (prenant la même valeur par une substitution homographique appartenant à un certain groupe). Il s'agit de nouvelles transcendantes, les fonctions fuchsiennes et kleinéennes (qu'il baptisa ainsi en hommage aux mathématiciens Immanuel Fuchs et Felix Klein), dont la théorie est une extension des intégrales elliptiques. Ces fonctions ont la propriété de permettre de résoudre le problème de l'intégration de toutes les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. Guidé par l'analogie des fonctions elliptiques, il partit de la fonction modulaire étudiée par Hermite et chercha les groupes discontinus des fonctions hyperboliques [(aζ + b) / (cζ + d), a, b, c, d = const.] qui n'altèrent pas le cercle fondamental (défini dans le plan complexe, avec l'origine pour centre, et de rayon unité).

Il eut alors l'idée que ces transformations forment le groupe des déplacements de la géométrie plane non euclidienne, et put formuler ainsi tous les groupes discontinus contenus dans le groupe hyperbolique (groupes fuchsiens) et construire les fonctions uniformes de ζ non altérées par les opérations de ce groupe (fonctions fuchsiennes). Les fonctions kleinéennes et les groupes correspondants sont ceux qui ne conservent pas le cercle fondamental, et sont obtenus par la géométrie non euclidienne en dimension 3.

Poincaré formula, à partir de ses résultats sur ces fonctions automorphes, un grand nombre de propriétés algébriques sur les équations et les courbes. Les fonctions fuchsiennes relatives à un même groupe sont liées par une équation algébrique. Les coordonnées d'un point d'une courbe algébrique quelconque s'expriment par des fonctions fuchsiennes, donc par des fonctions uniformes d'un même paramètre. L'intégration des équations linéaires à coefficients algébriques d'un ordre quelconque peut être obtenue à l'aide de certaines fonctions appelées zêtafuchsiennes. Les fonctions fuchsiennes sont représentées par des séries thêtafuchsiennes.

Poincaré apporta également des contributions d'importance fondamentale et pionnières à la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, qui existait à peine avant lui. Il montra en 1883, en utilisant le principe de Dirichlet (cf. infra, Physique mathématique et physique théorique) pour la fonction ln |F|, qu'une fonction F méromorphe de deux variables complexes est toujours le quotient de deux fonctions entières. Plus tard, il reprit et approfondit l'étude de ces fonctions dans le cas d'un nombre quelconque de plusieurs variables complexes, les appliquant à la théorie des fonctions abéliennes, prolongeant ensuite ces travaux en mettant en évidence les problèmes de nature nouvelle auxquels conduisait l'extension aux fonctions de deux variables complexes de la notion de recouvrement conforme, et dont la théorie actuelle des variétés et des espaces analytiques est directement issue. Enfin, il généralisa la notion de résidu aux intégrales multiples de fonctions de plusieurs variables complexes.

Géométrie analytique, algèbre, arithmétique et analysis situs

Outre les résultats algébriques obtenus à partir de l'étude des fonctions automorphes, Poincaré s'intéressa, dès 1881, aux fonctions abéliennes et à la géométrie algébrique, dans la suite des travaux de Riemann et de Weierstrass. Il démontra le « théorème de réductibilité complète » des variétés abéliennes (décomposition en variétés simples d'intersections finies), d'où il tira de nombreux résultats, et fit d'autres découvertes importantes en géométrie algébrique, sur les courbes algébriques inscrites sur une surface algébrique.

En algèbre, il s'intéressa à la théorie des groupes (continus) de Lie, formulant un théorème fondamental dans ce domaine (théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt).

En théorie des nombres, il étudia les équations diophantiennes, qu'il traita par les méthodes de la géométrie algébrique, balisant un terrain neuf, celui de la « géométrie algébrique sur le champ des rationnels », montrant que les points à coordonnées rationnelles sur une courbe f (x, y) = 0, où les coefficients de f sont rationnels, forment un sous-groupe dont le rang (dont il supposa qu'il est fini, ce qui fut ultérieurement démontré par Louis Joel Mordell puis par André Weil) définit celui de la courbe.

En relation à ses travaux sur l'intégration qualitative des équations différentielles, Poincaré développa, dès 1894, ce qu'il appela l'analysis situs, ou géométrie de situation (c'est-à-dire la topologie algébrique), dont l'origine remonte à Riemann. L'analysis situs concerne les propriétés invariantes d'une figure lorsqu'on la déforme de manière continue quelconque, sans déchirure (par exemple, dans le cas de la déformation de la sphère, les propriétés corrélatives des objets tracés sur sa surface). Poincaré précisa le rôle des «  nombres de Betti », qui caractérisent l'« ordre de connexité » d'une variété à plusieurs dimensions (dont ils sont les « invariants homologiques »), montrant l'existence d'un invariant plus fin, le « groupe fondamental ». C'est dans ce cadre qu'il généralisa le théorème de Descartes-Euler sur les polyèdres (cf. supra, Analyse, équations différentielles et théorie des fonctions). Il démontra le théorème de dualité sur l'homologie d'une variété, et définit également d'autres invariants homologiques, les nombres « de torsion ».

Mécanique céleste et systèmes dynamiques

Étudiant, en 1885, le comportement d'une masse fluide en rotation dans un champ de forces, Poincaré analysa de manière systématique les conditions d'équilibre, en utilisant le développement en séries des périodes d'une fonction elliptique. Il put mettre en évidence que, dans une même série, ces figures dépendent d'un paramètre variable, qui détermine le type de la figure d'équilibre. À chaque figure est attachée une suite infinie de coefficients dits de stabilité : quand ces derniers sont tous positifs, la condition de stabilité est obtenue ; quand l'un d'eux s'annule, la figure est de bifurcation. Si une figure appartient à deux séries différentes, on a une figure d'équilibre de bifurcation : ces deux séries échangent leur stabilité (par exemple, l'une des séries correspond à des équilibres stables jusqu'à la bifurcation, et instables ensuite). Poincaré montra ainsi que les ellipsoïdes de révolution et certains ellipsoïdes à trois axes inégaux (de Jacobi), solutions d'équilibre connues, possèdent une stabilité séculaire, les autres figures (en anneau, ou tore) étant d'équilibre instable, à l'exception d'une nouvelle figure, en forme de poire. Il appliqua ces résultats aux anneaux de Saturne, montrant qu'ils ne peuvent satisfaire aux conditions d'équilibre d'un fluide et doivent donc être composés d'une multitude de très petits satellites.

D'une manière générale, les travaux de Poincaré en mécanique céleste et en dynamique se fondent sur l'étude des propriétés remarquables des équations de la dynamique, mises en évidence par Jacobi, et dont il se préoccupa d'exprimer les conséquences. Étudiant les changements de variables qui conservent la forme canonique des équations, il montra que de telles transformations facilitent la mise en équation du problème des trois corps (il rapporta les coordonnées de chaque planète au Soleil, et leurs vitesses à des axes fixes), et introduisit la notion nouvelle d'« invariants intégraux » (il s'agit d'intégrales définies simples qui demeurent constantes quand le champ d'intégration varie selon une loi définie par une équation différentielle, tel le volume dans le mouvement d'un fluide incompressible). C'est ainsi qu'il parvint à des résultats d'une importance considérable dans son Mémoire « Sur le problème à trois corps et les équations de la dynamique », qui lui valut le prix du Roi de Suède en 1889. Il reprit et développa ce travail dans son ouvrage en trois volumes, Les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste (1892, 1893, 1899).

S'attachant d'abord aux propriétés qualitatives dans le problème des trois corps, il montra que ce dernier n'admet pas, en général, de séries trigonométriques convergentes, sauf si l'on choisit les conditions initiales du mouvement telles que les distances mutuelles entre les trois masses soient des fonctions périodiques du temps. Poincaré étudia les solutions périodiques du problème, ainsi que d'autres types de solutions qu'il mit en évidence, et dont il étudia les propriétés à l'aide des invariants intégraux : « asymptotiques » (c'est-à-dire qui se rapprochent infiniment d'une solution périodique, ou s'en éloignent sans cesse si elles en ont été infiniment éloignées à t = — ∞), périodiques de deuxième espèce (deux des corps se rapprochent périodiquement à se toucher) ou encore du deuxième genre (la variation continue de l'une des masses entraîne la déformation continue d'une solution périodique du premier genre donnant trois solutions périodiques très voisines, l'une à la période T, les deux autres à des périodes multiples de T), enfin, « doublement asymptotiques » (infiniment voisines d'une solution périodique à t = — ∞ et t = + ∞, et s'en éloignant puis s'en rapprochant dans l'intervalle).

Appliquant ces résultats qualitatifs, mais obtenus en toute rigueur, au problème de la stabilité du système solaire, il arriva à des résultats partiels, tel celui de la « stabilité à la Poisson » : dans le cas de deux corps ayant des orbites sans excentricité et un troisième de masse nulle, le système repassera une infinité de fois aussi près que l'on voudra de sa situation initiale.

Poincaré se préoccupa également de faire des développements approchés en vue d'applications aux problèmes pratiques considérés par les astronomes. Il montra que la convergence d'une série trigonométrique n'est pas une condition suffisante de la limitation de la fonction représentée par cette série, contrairement à ce qu'on croyait avec Laplace : si la convergence n'est pas uniforme, la fonction peut devenir très grande et soit aller à l'infini, soit subir une infinité d'oscillations successives, ce qui reposait la question de la démonstration de la stabilité du système solaire, et montrait qu'elle échappait au fait de faire rentrer le temps dans les termes sinus et cosinus. Il précisa dans quelles conditions l'emploi des séries divergentes est légitime, montrant comment le terme séculaire qui apparaît à chaque ordre d'approximation dans la méthode de Lindstedt est toujours unique et peut donc être éliminé. Il développa la méthode plus générale de Newcomb, où plusieurs termes sont à éliminer, montrant que l'élimination d'un terme provoque la disparition spontanée d'un autre, ce qui permet de développer en série – et donna le moyen de former directement ces séries. Il appliqua ces résultats à la théorie de la Lune, où apparaît l'importance des solutions périodiques.

Physique mathématique et physique théorique

Les travaux mathématiques de Poincaré sur la théorie des équations différentielles l'amenèrent naturellement à s'intéresser à la physique mathématique, en raison du lien de ces équations, en particulier des équations aux dérivées partielles du second ordre, dont la plus simple est celle de Laplace, Δu = 0, avec les lois des phénomènes physiques les plus divers. La distribution électrique, le magnétisme, l'hydrodynamique, les équations de vibration des membranes, les marées, le potentiel newtonien, la théorie analytique de la chaleur sont décrits par des équations de ce genre.

Poincaré s'attacha à la mise en évidence de la possibilité de ces problèmes et à leur résolution au moyen de séries de fonctions harmoniques (Fourier, Laplace...), montrant l'existence de ces fonctions, calculant les coefficients des séries, démontrant leur convergence. Il reprit de manière systématique le «  problème de Dirichlet », étudié par Riemann et d'autres, qui apparaît dans de nombreuses situations de physique mathématique, et qui « consiste à déterminer une fonction V satisfaisant à l'équation de Laplace à l'intérieur d'une certaine région et qui prenne sur la surface qui limite cette région des valeurs données ». Il donna une nouvelle démonstration du principe de Dirichlet par l'invention de sa méthode dite « du balayage », et en l'utilisant pour démontrer son théorème selon lequel, si l'on considère une fonction analytique quelconque, la fonction et sa variable peuvent être exprimées par des fonctions uniformes (méromorphes) d'une variable auxiliaire.

Poincaré a également porté son attention sur la théorisation des phénomènes physiques tels qu'ils sont donnés dans l'expérience, dans laquelle il voyait un autre volet de la « physique mathématique », et qui constitue la physique théorique au sens propre. Dans ses cours et dans de nombreux articles et communications, il s'est attaché « à passer en revue les différentes théories physiques et à les soumettre à la critique », tout en marquant un intérêt très précis pour la physique expérimentale. Cet intérêt se voit notamment à l'attention qu'il a consacrée aux expériences de Hertz sur les ondes électromagnétiques, l'experimentum crucis de la théorie de Maxwell. De même, il s'est occupé des rayons cathodiques et des rayons Röntgen (X), et suggéra l'idée qui devait mettre Henri Becquerel sur la voie de la découverte de la radioactivité.

En théorie des probabilités, il obtint en 1886 des résultats importants comme le théorème de Bayes-Poincaré sur les probabilités composées, s'intéressa aux applications de la théorie dans les expériences de la physique (théorie des erreurs) et dans la théorie cinétique des gaz. En thermodynamique, il donna, dans sa Théorie analytique de la propagation de la chaleur (1895), des méthodes nouvelles pour le développement en séries de fonctions fondamentales, et, dans son livre Thermodynamique (1892), fournit deux démonstrations différentes du théorème de Clausius sur les cycles non réversibles (∫dQ/T < 0), montrant qu'une explication mécanique de l'irréversibilité est peu vraisemblable. Dans son cours, non publié, de 1893, sur la théorie cinétique des gaz, il examina et réfuta des objections de lord Kelvin au théorème de Maxwell-Boltzmann et chercha à concilier cette théorie avec l'irréversibilité.

Ses résultats sur les équations de la dynamique et le problème des trois corps entraînent cette propriété que les lignes d'un champ de vecteurs de divergence nulle ne se ferment qu'exceptionnellement, mais repassent en général une infinité de fois aussi près que l'on veut d'un point où elles sont déjà passées : on peut les considérer comme pratiquement fermées. Poincaré prit sa part dans le débat suscité par Ernst Zermelo, qui posa le problème de concilier cette propriété des systèmes dynamiques avec le « théorème H » de Boltzmann établissant l'irréversibilité des passages, pour un grand nombre de molécules, d'une configuration initiale quelconque à la configuration la plus probable.

Par ailleurs, il appliqua, dans ses Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, la théorie cinétique et la mécanique statistique à l'étude des systèmes stellaires (« nébuleuses »).

Poincaré s'est également penché sur la théorie générale de l'élasticité, apportant des contributions précises et originales. Mais son domaine de prédilection en physique fut l'optique et la théorie électromagnétique de la lumière. L'optique, qu'il étudia dans sa Théorie mathématique de la lumière (1889-1892), se présentait d'abord comme une application directe des théories de l'élasticité de l'éther lumineux, qu'il contribua à expliciter, mais qui le laissa vite insatisfait, et il se porta vers les théories explicatives de l'électromagnétisme, qu'il examina notamment dans Électricité et optique (1890-1891). Il passa en revue les principales théories de l'électrodynamique, reconnut la supériorité de la théorie de Maxwell, qu'il contribua puissamment à faire accepter sur le continent, tout en la réinterprétant à sa façon.

Les problèmes de l'optique des corps en mouvement, dont il avait constaté l'importance en optique mathématique, requirent une grande part de son attention en ce qui concerne la théorie électromagnétique de la lumière. Conscient de l'importance d'une explication du coefficient d'entraînement de l'éther de Fresnel qui expliquait l'aberration des étoiles et l'expérience de Fizeau, il souligna la supériorité, sur les autres théories proposées qu'il passa toutes en revue, de la théorie électrodynamique de Lorentz, et il s'attacha à la perfectionner en relation étroite avec ce dernier.

Ces recherches culminèrent avec son travail de 1905 « Sur la dynamique de l'électron », paru dans le Bulletin du Cercle mathématique de Palerme, dans lequel il propose, parallèlement au travail d'Einstein sur la relativité restreinte, une théorie relativiste de l'électrodynamique. Il formula en outre une approche « covariante » (au sens restreint) de la gravitation utilisant pour la première fois la méthode, aujourd'hui classique, de la recherche des invariants de Lorentz. Sa proposition de représenter le temps comme quatrième coordonnée d'espace (x₄ = ct √— 1) devait être reprise dans l'espace-temps de Minkowski.

Dans son dernier travail théorique sur la physique, Poincaré mit en évidence le caractère irréductible de la discontinuité quantique au niveau atomique – déjà affirmé par Einstein, mais non accepté par Planck lui-même –, c'est-à-dire le fait que les phénomènes d'émission et d'absorption de la lumière par des atomes ne peuvent être représentés par des équations différentielles. Il ne fallut rien de moins que la grande autorité de Poincaré pour faire accepter ce résultat, qui ouvrait la voie à un type d'approche de la physique théorique très différent de celui qui avait prévalu jusqu'alors.