WEYL HERMANN (1885-1955)

Problèmes aux limites singuliers

La thèse de Weyl (1910) est consacrée à l'étude du problème de Sturm-Liouville sur R⁺. Si L est un opérateur linéaire du second ordre auto-adjoint :

la théorie de Hilbert-Schmidt (cf. équations différentielles, chap. 3) montre que, pour tout intervalle compact [0, l], il existe une suite discrète de valeurs propres positives λ (c'est le spectre de u) pour lesquelles l'équation L(u) = λu admet une solution non triviale satisfaisant aux conditions limites u′(0) = au(0) et u′(1) = bu(1), où a et b sont des constantes réelles quelconques. Weyl montre que le passage à la limite pour l → + ∞ fait en général apparaître un spectre continu, le développement de Sturm-Liouville étant remplacé par des formules analogues à l'intégrale de Fourier. Par passage au cas où λ est complexe, il met en évidence une dichotomie dans le comportement des solutions pour λ fixé et pour l → + ∞ : ou bien, pour tout λ, l'équation L(u) = λu a une solution unique à un facteur près de carré sommable sur R⁺(cas du « point limite »), ou bien toutes les solutions sont, pour tout λ complexe, de carré sommable sur R⁺(cas du « cercle limite »).

Dans un article de 1911, Weyl, en vue d'applications à la théorie de l'élasticité, reviendra sur la répartition des valeurs propres.

Tous ces résultats de Weyl sur les opérateurs annoncent les travaux de J. von Neumann sur les opérateurs non bornés.

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Écrit par

Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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