HYDRAULIQUE

Écoulement des fluides et théorèmes généraux

Les lois de la mécanique d'un corps solide s'obtiennent en intégrant dans le volume occupé par ce corps les lois de la mécanique du point matériel.

D'une manière identique, les lois de l'hydraulique utilisées dans la pratique par les ingénieurs s'obtiennent en intégrant d'une manière exacte ou approchée les lois décrivant le mouvement d'un petit élément de volume fluide.

Alors que dans un solide la position relative des différents points matériels composant ce solide est invariable, dans un liquide chaque élément de volume est animé d'un mouvement qui diffère de celui des éléments voisins, de sorte que le fluide peut se déformer au cours de son mouvement. Les interactions qui résultent de ces mouvements relatifs sont des forces de surface appelées forces de pression lorsqu'elles agissent dans la direction normale à la surface considérée, et forces de frottement lorsqu'elles agissent tangentiellement à cette surface.

En hydraulique, les forces de frottement par unité de surface, c'est-à-dire les contraintes tangentielles, sont proportionnelles aux vitesses de déformation :

Le coefficient de proportionnalité μ s'appelle le coefficient de viscosité dynamique du fluide.

Résoudre un problème d'hydraulique consiste le plus souvent à répondre à la question : que se passe-t-il en un point donné de l'espace occupé par un fluide en mouvement ? Cette méthode de résolution donne, en un point P(x, y, z) quelconque du domaine occupé par le fluide, le vecteur vitesse V(P,t) de composantes u, v, w et la pression p(P, t).

Les quatre équations fondamentales qui permettent, en hydraulique, de déterminer les quatre inconnues u, v, w et p sont fournies par la condition de continuité (une équation scalaire traduisant la conservation de la masse) et par le principe de conservation de la quantité de mouvement (une équation vectorielle).

En précisant convenablement les conditions aux limites à satisfaire (condition à la surface libre d'un écoulement, conditions le long d'une paroi solide, etc.) on parvient dans certains cas à obtenir des solutions particulières aux équations générales décrites ci-dessus.

L'approche la plus puissante consiste à résoudre numériquement ces systèmes d'équations aux dérivées partielles par des méthodes qui utilisent des discrétisations en différences finies ou en éléments finis et en mettant à profit les capacités et les vitesses de calcul sans cesse croissantes des ordinateurs pour utiliser des algorithmes de résolution extrêmement performants (cf. fig. 1).

Si on intègre l'équation différentielle du mouvement le long d'une courbe (C) ou dans un volume (D), on obtiendra une relation générale entre deux grandeurs inconnues, la vitesse V et la pression p.

Dans le cas du mouvement d'un fluide parfait (c'est-à-dire dépourvu de viscosité), irrotationnel (dont aucune particule n'est animée d'un mouvement élémentaire de rotation), et permanent (indépendant du temps), cette relation revêt la forme simple suivante :

Cette relation est connue sous le nom de théorème de Bernoulli. Elle exprime que la quantité totale d'énergie contenue par unité de poids de fluide est invariable (en l'absence de mécanisme de dissipation) et peut seulement revêtir des formes différentes : énergie potentielle (z), énergie de pression (p/ρg), et énergie cinétique (V²/2 g), avec tous les transferts possibles entre ces trois formes, mais à bilan global constant.

Les applications de l'équation de Bernoulli sont extrêmement nombreuses en hydraulique. On en déduit directement la formule de Torricelli V = √2gH donnant la vitesse d'écoulement par un orifice sous une hauteur d'eau H. Le venturi, dispositif servant à mesurer les débits dans les conduites, est également[...]