CONTINU HYPOTHÈSE DU
Modèles et forcing
Quels axiomes additionnels choisir ? Ajouter HC ou ¬HC ne saurait être une réponse, et la première tâche est de décrire le critère retenu par Woodin. Pour ce faire, on partira des notions de modèle de ZFC et de forcing.
Comme les axiomes de ZFC ne portent que sur la relation d'appartenance, on peut considérer des structures abstraites (M, E), appelées modèles de ZFC, où E est une relation binaire sur M satisfaisant aux axiomes de ZFC. Par hypothèse, la structure (V, ∈) constituée des vrais ensembles et de la vraie appartenance est un modèle de ZFC.
C'est ce cadre conceptuel qui permet d'établir les théorèmes de Gödel et de Cohen. Partant d'un modèle (M, E) de ZFC, on en construit, avec Gödel, un sous-modèle où HC est vraie, et, avec Cohen, une extension où HC est fausse.
La méthode de Cohen consiste à ajouter à M des ensembles contrôlés par un ensemble ordonné de M, dit de forcing. Celui-ci introduit une variabilité essentielle. Étant donné un modèle (M, E) et un énoncé ϕ tel que ni ϕ, ni ¬ϕ ne soit prouvable à partir de ZFC, il est fréquent qu'il existe deux forcings P1 et P2 définissant l'un une extension satisfaisant ϕ, et l'autre une extension satisfaisant ¬ϕ. Les statuts de ϕ et de ¬ϕ sont alors symétriques, et privilégier l'un ou l'autre semble difficile. C'est en particulier ce qui se produit pour HC.
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Écrit par
- Patrick DEHORNOY : professeur à l'université de Caen et à l'Institut universitaire de France
Classification
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