CONTINU HYPOTHÈSE DU
Portée de ces résultats
Au-delà de la prouesse technique, les travaux de Woodin semblent constituer une avancée majeure car le cadre conceptuel de la Ω-logique restaure l'unité et l'intelligibilité globale de la théorie des ensembles, comme en témoignent l'existence de multiples formes de la Ω-conjecture, et plusieurs résultats reliant la Ω-logique aux grands cardinaux.
En ce qui concerne l'hypothèse du continu, il convient d'être prudent. Même si la Ω-conjecture est établie un jour, l'approche de Woodin repose sur un choix, à savoir celui de l'invariance par forcing comme critère de départ : ce choix reste discutable, et d'autres approches sont possibles. En revanche, le corpus de théorèmes établis par Woodin constitue à ce jour la description la plus élaborée de l'infini non dénombrable, allant bien au-delà de l'exploration des conséquences formelles d'axiomes plus ou moins arbitraires. Il se trouve que cette description mène à la négation de l'hypothèse du continu, et qu'il n'existe aucune description comparable menant à cette hypothèse. Surtout, il n'existe aucun théorème étayant l'opinion parfois émise que l'hypothèse du continu est un énoncé vague et dénué de sens. À tout le moins, ce que démontre Woodin est que l'hypothèse du continu a un sens précis – et que c'est une question difficile.
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Écrit par
- Patrick DEHORNOY : professeur à l'université de Caen et à l'Institut universitaire de France
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