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INTÉGRATION ET MESURE

Linéarisation et intégrale de Riemann

Soit (X, A, m) un espace mesuré. À chaque élément A de A, associons sa fonction caractéristique ϕA et considérons les combinaisons linéaires à coefficients réels de ces fonctions caractéristiques : on obtient des fonctions dites étagées (relativement à A) et leur ensemble V a une structure naturelle d'espace vectoriel réticulé. Si ϕ et ψ en sont deux éléments de V, sup(ϕ, ψ) et inf(ϕ, ψ) appartiennent aussi à V.

On peut alors associer à m une forme linéaire I sur V, en posant :

pour :
et l'on vérifie que, si ϕ s'exprime de deux manières différentes comme combinaisons linéaires de fonctions ϕAi, on obtient bien, dans les deux cas, la même valeur pour I(ϕ). La linéarité de I est évidente. En outre, si ϕ ≥ 0, on a I(ϕ) ≥ 0.

On peut alors poser un problème d'extension de la forme I à un espace vectoriel contenant V. Le procédé classique de l'intégration de Riemann est l'analogue du procédé d'Eudoxe pour l'extension des mesures et peut être ainsi décrit. On considère les fonctions f définies sur X à valeurs dans R, qui ont la propriété d'être bornées et de s'annuler hors d'un ensemble Af ∈ A. On peut encadrer f par des fonctions étagées ϕ et ψ telles que ϕ < f < ψ. On a donc :

on montre que l'ensemble des fonctions pour lesquelles l'égalité a lieu dans la formule précédente est un espace vectoriel réticulé V qui contient V, et que, si l'on prend pour I(f) la valeur commune aux deux bornes, on définit sur V une forme linéaire positive I qui prolonge I.

Tel est l'essentiel de l'intégration au sens de Riemann. Remarquons que, partant de (X, A, m), la famille des ensembles A dont les fonctions caractéristiques ϕ appartiennent à V n'est autre que A, et que I(ϕ) n'est alors autre que m(A). On ne perd donc rien, et on gagne beaucoup à procéder à cette linéarisation et à travailler sur des espaces vectoriels de fonctions et sur leurs formes linéaires positives.

Un problème technique concernant cette intégration est de savoir, suivant l'espace mesuré (X, A, m), ou l'espace V, dont on part, si l'on peut caractériser indépendamment de l'intégration les fonctions de V : dans cet ordre d'idées, si X est localement compact, et si A contient tous les compacts de X, toutes les fonctions continues à support compact appartiennent à V. Plus particulièrement, si (X, A, m) est l'espace mesuré de l'exemple (b), où m est définie à partir d'une fonction croissante g, toutes les fonctions continues réelles sur [α, β] sont intégrables, et l'intégrale est appelée l'intégrale de Riemann- Stieltjes par rapport à g et est souvent notée :

Une fonction v à variation bornée étant la différence de deux fonctions croissantes p et n, on peut définir l'intégrale de toute fonction continue f par rapport à v en posant :

et on a :
où ∥f ∥ est la norme uniforme de f, définie par :

V(α, β) est la variation absolue de v entre α et β, soit :

où la borne supérieure est prise par rapport à l'ensemble des subdivisions finies α = x0 < x1 < ... < xn-1 < xn = β de l'intervalle [α, β].

Autrement dit, sur l'espace de Banach des fonctions continues réelles définies sur [α, β], les intégrales de Riemann-Stieltjes sont des formes linéaires continues. En 1909, F.  Riesz a prouvé qu'elles étaient les seules.

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  • : professeur à la faculté des sciences de Paris, directeur de l'Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques

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