INTERACTIONS (physique) Électromagnétisme
L'électromagnétisme en relativité et en mécanique quantique
Invariance relativiste
Lorsque Maxwell proposa ses équations fondamentales (1873), il apparut qu'elles ne satisfaisaient pas au principe de relativité tel que l'entendait Galilée (1632) : ces équations deviennent méconnaissables si on les soumet à la transformation de Galilée x' = x – ut, y' = y, z' = z, formules régissant le changement de référentiel en mécanique classique (x, y, z : coordonnées du point courant dans un référentiel R ; x', y' z' : coordonnées du même point dans un autre référentiel se déplaçant par rapport à R à la vitesse u dirigée selon Ox).
Henri Poincaré
AKG-images
La théorie de la relativité d'Einstein substitue la transformation de Lorentz à celle de Galilée : x' = (x – ut)/(1 – –u2/c2)1/2, y' = y, z' = z, t' = (t – ux/c2)/(1 – –u2/c2)1/2. Henri Poincaré (1854-1912) démontra l'« invariance » des équations de Maxwell dans cette transformation.
Voilà un véritable exploit technique : il s'agissait de remplacer, dans les fonctions et opérateurs différentiels que mettent en jeu les équations de Maxwell, les variables x, y, z, t par l'expression qu'en donne la transformation de Lorentz en termes de x', y', z', t' ; il s'agissait ensuite, en regroupant intelligemment les divers éléments, de retrouver des égalités de même forme que les équations originelles, mais avec x', y', z', t'. La démonstration d'Henri Poincaré acquit en physique une dimension véritablement prophétique.
Électromagnétisme et mécanique quantique
L'électromagnétisme classique se décrit en termes des champs électriques E et magnétique B, satisfaisant aux équations de Maxwell. Lorsqu'on aborde la mécanique quantique, il s'avère que l'électromagnétisme ne peut pas y être introduit à travers les champs. Il y faut un pas de plus, qui apporte les « jauges » dont voici l'introduction.
Deux d'entre les équations de Maxwell, celles qui ne comportent ni ρ, ni j, sont identiquement vérifiées si l'on exprime E et B à l'aide de potentiels, scalaire V et vecteur A : B = rot A obéit à div B = 0 pour tout A ; E = – grad V – ∂A/∂t satisfait à rot E = – ∂B/∂t pour tout V. On peut donc remplacer la donnée des champs (E, B) par une « jauge » (V, A) – ces grandeurs dépendent toutes des variables x, y, z, t.
Mais cette substitution souffre d'une complication essentielle. Si la connaissance d'une jauge (V, A) détermine de façon univoque – par les formules ci-dessus – les champs (E, B), l'inverse n'est pas vrai : à un même couple de champs (E, B) peuvent être associées une infinité de jauges ; plus précisément, les jauges (V1, A1) et (V2, A2) s'équivalent, c'est-à-dire aboutissent aux mêmes champs (E, B) si, et seulement si, il existe une « fonction de jauge » χ(x, y, z ; t) qui les relie par la « transformation de jauge » A2 = A1 + grad χ, V2 = V1 – ∂χ/∂t.
Surgit dès lors, cruciale, la question de l'« invariance de jauge » : la physique reste-t-elle la même si l'on change la jauge pour une autre, équivalente ? Une réponse affirmative ne fait aucun doute en mécanique newtonienne : à mêmes champs, même force de Lorentz (paragr. 2.1) F = q(E + v ∧ B). La mécanique quantique est autrement plus subtile. Dans l'équation de Schrödinger décrivant une particule de masse m et de charge q en présence d'un champ électromagnétique, l'opérateur hamiltonien s'écrit H = (–iℏ∂∇ – qA)2/2m + qV – si l'on choisit la jauge (V, A) pour représenter le champ. Maintenant, si l'on connaît une solution ψ1(x, y, z ; t) de l'équation de Schrödinger iℏ∂ψ1/∂t = H1ψ1 construite[...]
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Écrit par
- Bernard DIU : professeur émérite à l'université de Paris-VII-Denis-Diderot
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Médias
James Maxwell
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Loi d'Ohm
Encyclopædia Universalis France
Lignes de champ magnétique
J. R. Eyerman/ The LIFE Picture Collection/ Getty Images
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