INVARIANT, mathématique

Invariants algébriques d'un groupe de transformations

La notion d'invariant algébrique, dont un exemple a été donné dans l'introduction, a précédé historiquement celle de groupe de transformations. La relation a été reconnue par Felix Klein qui, dans son célèbre « programme d'Erlangen » de 1872, soutient que toute géométrie peut s'exprimer comme une théorie des invariants pour un groupe particulier de transformations, tel que les groupes projectifs, affines, euclidiens, hyperboliques, etc.

Le calcul cas par cas de ces invariants algébriques et de leurs relations, les syzygies, a été une préoccupation majeure des mathématiciens de la seconde moitié du xix^e siècle. David Hilbert unifia la théorie et démoda brutalement ces calculs en 1890 en démontrant l'existence – sous des hypothèses générales – d'une famille finie d'invariants fondamentaux qui engendrent tous les autres, forgeant à cet effet des concepts abstraits qui fondèrent l'algèbre moderne.