HADAMARD JACQUES (1865-1963)
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Équations aux dérivées partielles
Cherchant toujours à rester en contact étroit avec l'« intuition physique », Hadamard a consacré un grand nombre de publications aux équations aux dérivées partielles et s'est toujours intéressé à ce sujet. On lui doit tout d'abord la notion de « problème correctement posé ». Amené à l'introduire par une réflexion sur la signification physique de nombreux problèmes aux limites, il impose aux solutions de dépendre continûment des données : « Si l'on modifie légèrement les données (et, éventuellement, un nombre fini de leurs dérivées), la solution doit peu varier ; autrement, nous n'avons pas une solution physique de notre problème, puisque, en pratique, les données ne sont connues qu'avec une certaine approximation. » Ces préoccupations ont été très enrichissantes, car elles ont fait sentir la nécessité de préciser la notion de proximité des fonctions et, par suite, ont conduit aux espaces fonctionnels et à l'analyse fonctionnelle.
Le résultat le plus profond d'Hadamard dans cette théorie est la résolution complète des équations hyperboliques avec l'utilisation des solutions élémentaires, telle qu'il l'expose sous forme définitive dans son livre Le Problème de Cauchy et les équations linéaires hyperboliques. Étant donné une hypersurface S et une équation de type hyperbolique (équations aux dérivées partielles), le problème de Cauchy est correctement posé et la solution en un point a ne dépend que des conditions initiales et du second membre dans la région limitée par S et le conoïde caractéristique issu de a. Pour surmonter les difficultés de divergence des intégrales sur le cône caractéristique, Hadamard introduit et utilise la notion de partie finie de certaines intégrales divergentes, qui s'interprète de nos jours de manière très satisfaisante dans le cadre de la théorie des distributions. Le cas d'un nombre impair de variables se résout alors avec une extension de la formule de Green aux parties finies, tandis que le cas d'un nombre pair m de variables demande une approche plus délicate par une méthode de descente pour passer de m + 1 à m. À propos de l'équation des ondes à un nombre pair de variables, Hadamard se livre à une analyse du « principe de Huygens ». Indiquons enfin qu'il a étudié les problèmes, appelés par lui « problèmes mixtes », qui interviennent dans la théorie des fluides compressibles.
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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