NEUMANN JOHN VON (1903-1957)
Logique mathématique
La deuxième publication de von Neumann, alors à peine âgé de vingt ans, est consacrée à un exposé, dans le système axiomatique de Zermelo, de la théorie des ordinaux. Les définitions vagues de Cantor sont remplacées par une construction précise qui évite l'introduction des types d'ordre : un nombre ordinal apparaît comme l'ensemble de tous les nombres ordinaux plus petits. Par un article de 1928 l'auteur reprendra cette étude dans un contexte axiomatique élargi.
Une série d'articles, échelonnés de 1925 à 1929, est consacrée à l'axiomatisation de la théorie des ensembles. Dans Die Axiomatisierung der Mengenlehre (1928), von Neumann propose une axiomatisation remarquablement concise et simple de la théorie naïve qui repose sur la notion d'objet de premier type (les ensembles) et de second type (les propriétés des ensembles). Il dégage clairement le rôle de l'axiome de fondation (cf. ensembles-Théorie axiomatique).
La dernière publication de von Neumann sur la théorie des ensembles (1929) introduit un important axiome qui, moyennant les axiomes primitifs usuels des théories classiques, entraîne l'axiome du choix. Cet axiome de von Neumann peut s'énoncer ainsi : une propriété d'ensembles définit un ensemble d'ensembles à la seule condition qu'il n'existe pas de correspondance biunivoque entre les ensembles qui possèdent la propriété considérée et tous les ensembles.
De cette première période de l'œuvre de von Neumann, mentionnons aussi, avant d'aborder sa contribution fondamentale à l'axiomatisation de la mécanique quantique, un important article de 1927 consacré à la non-contradiction des mathématiques (dans le cadre des méthodes finitistes de Hilbert) et des travaux sur la « pathologie » de la théorie de la mesure : extension à des groupes assez généraux des résultats de F. Hausdorff, S. Banach et A. Tarski sur la mesure universelle et les décompositions paradoxales de la sphère. Von Neumann s'est d'ailleurs intéressé toute sa vie à la théorie de la mesure et on lui doit des démonstrations de l'existence de la mesure de Haar sur un groupe localement compact et du théorème de Radon-Nykodym sur la « dérivation » d'une mesure par rapport à une autre.
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Média
John von Neumann
Bettmann/ Getty Images
Autres références
-
THEORY OF GAMES AND ECONOMIC BEHAVIOR, John von Neumann et Oskar Morgenstern - Fiche de lecture
- Écrit par Philippe MAMAS
- 1 045 mots
En 1944, deux émigrés européens installés aux États-Unis, John von Neumann (1903-1957), mathématicien de génie d’origine hongroise, qui deviendra plus tard l’un des inventeurs de l’ordinateur, et Oskar Morgenstern (1902-1977), économiste d’origine autrichienne, publient un impressionnant...
-
AUTOMATES CELLULAIRES
- Écrit par Philippe COLLARD
- 2 345 mots
Il est de coutume d'attribuer la paternité des automates cellulaires aux mathématiciensJohn von Neumann et Stanislas Ulam qui ont introduit et étudié ces automates dans les années 1940. La motivation d'Ulam était de générer dynamiquement des constructions graphiques en utilisant des règles d'évolution... -
CONNES ALAIN (1947- )
- Écrit par Jacques TITS
- 1 243 mots
Alain Connes, mathématicien français, a obtenu la médaille Fields en 1982 avec W. P. Thurston (États-Unis) et S. T. Yau (originaire de Chine, vivant aux États-Unis).
Alain Connes est né le 1er avril 1947 à Draguignan. Ancien élève à l'École normale supérieure, il a reçu, en 1980, le prix Ampère,...
-
CONSTRUCTION, mathématique
- Écrit par André WARUSFEL
- 1 391 mots
Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xixe siècle et surtout le début du xxe, on a mis au point une méthodeaxiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir...
-
CONTINGENCE
- Écrit par Bertrand SAINT-SERNIN
- 4 900 mots
...clarté, et pour les jeux de stratégie les plus simples, le concept correspondant à cette idée de contingence. C'est en effet à cette date que Johann von Neumann présenta la première démonstration générale du théorème de l'équilibre dans les jeux à deux personnes et à somme nulle ou duels. Il... - Afficher les 20 références
