FOURIER JOSEPH (1768-1830)
L'œuvre mathématique
L'originalité de Fourier réside principalement dans sa théorie de la propagation de la chaleur dans un solide. Sur le plan purement mathématique, les résultats sont de deux ordres : d'une part, la résolution des équations aux dérivées partielles en attribuant aux conditions aux bornes l'importance qui leur revient, d'autre part, la représentation d'une « fonction arbitraire » par une série trigonométrique.
Par exemple, en résolvant l'équation :
Daniel Bernoulli, Euler, Clairaut, Lagrange avaient rencontré cette difficulté dans le cadre de calculs astronomiques ou de la controverse de la corde vibrante. Mais la confusion qui régnait alors quant à la nature d'une fonction, de sa continuité et de son domaine de définition ne permettaient guère que des essais mal orientés ou mal interprétés. Après quelques tentatives très ingénieuses, Fourier obtient en 1807, par orthogonalité, les coefficients de Fourier :
Jusqu'ici rien de nouveau. Mais deux facteurs lui permirent de franchir une nouvelle étape : c'est d'abord l'interprétation des intégrales comme des surfaces et non comme des expressions liées à un calcul de primitives, ensuite le domaine de définition de ϕ se trouve physiquement limité à [0, 2 π]. Ainsi, toute fonction arbitraire (penser à la solution générale) qui possède une surface sous son graphe peut être représentée par une série de Fourier, sur un certain domaine. La distinction s'établit clairement entre la fonction et une expression qui lui est égale sur un domaine donné. Cette vision deviendra problématique lorsque Fourier étendra, en 1822, le sens de fonction : « En général, la fonction f (x) représente une suite de valeurs, ou ordonnées, dont chacune est arbitraire [...]. On ne suppose pas que ces ordonnées soient assujetties à une loi commune. Elles se succèdent d'une manière quelconque, et chacune d'elles est donnée comme le serait une seule quantité » (art. 417). Mais qu'en est-il alors de la surface sous la courbe, de la nature du domaine de définition ? Les travaux de Dirichlet, Riemann, Cantor et combien d'autres, sur l'intégration et la convergence, s'attaqueront à ces problèmes... pour aboutir à la crise des fondements (cf. fondements des mathématiques).
Enfin, l'intégrale de Fourier, ainsi que le théorème de réciprocité, apparaissent dans le mémoire de 1812 par un passage à la limite sur une série de Fourier. Après 1815, Cauchy popularise ce résultat sans connaître ce travail. Notons aussi que l'on doit à Fourier le symbole d'intégration :
La résolution des équations polynomiales par approximation des racines a été au cœur des préoccupations du mathématicien. De ses publications sur ce sujet, toutes postérieures à 1818, deux éléments ont été surtout retenus. Le premier est une généralisation de la règle de Descartes : on appelle nombre de variations de la suite (ai) le nombre des indices k tels que aik+ 1 et aik soient de signes contraires. Soit f un polynôme de degré n ≥ 0, soit v(x) le nombre de variations de la suite (f (k) (x)), où f (0) = f. Si ν est le nombre de racines de f (x) = 0 dans l'intervalle[a, b]tel que f (a) ≠ 0 et f (b) ≠ 0, alors ν ≤ v(b) − v(a). En 1829, Charles Sturm précise cet énoncé de façon à obtenir exactement ν. La recherche des valeurs propres des équations de la théorie de la chaleur amena Fourier à vouloir généraliser ce théorème aux fonctions[...]
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Louis CHARBONNEAU : professeur de mathématiques à l'université du Québec, Montréal
Classification
Autres références
-
REMARQUES GÉNÉRALES SUR LES TEMPÉRATURES DU GLOBE TERRRESTRE ET DES ESPACES PLANÉTAIRES (M. Fourier)
- Écrit par Jean-Louis DUFRESNE
- 988 mots
- 1 média
L’article intitulé « Remarques générales sur les températures du globe terrestre et des espaces planétaires » du mathématicien et physicien français Joseph Fourier (1768-1830) est reconnu comme étant la première publication scientifique à expliciter ce qu’on appelle aujourd’hui l’effet...
-
THÉORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR (J. Fourier)
- Écrit par Bernard PIRE
- 318 mots
- 1 média
Joseph Fourier (1768-1830) a entrepris son étude de la propagation de la chaleur dès 1804 alors qu'il occupait le poste de préfet de l'Isère après avoir brièvement enseigné à l’École polytechnique puis suivi le corps expéditionnaire français en Égypte et y avoir été nommé administrateur civil...
-
ÂGE DE LA TERRE
- Écrit par Pascal RICHET
- 5 143 mots
- 5 médias
Un des effets les plus notables du problème cosmologique soulevé par Buffon fut d’inciter Joseph Fourier (1768-1830) à élaborer sa célèbre théorie de la propagation de la chaleur, dans laquelle il introduisit une distinction fondamentale entre les capacités qu’avait une substance de conduire... -
CALCUL ET RATIONALISATION - (repères chronologiques)
- Écrit par Pierre MOUNIER-KUHN
- 725 mots
1623 L'astronome allemand Wilhelm Schickard invente une « horloge à calcul ». Mais celle-ci disparaît dans un incendie et Schickard ne poursuit pas ce projet qui n'aura donc aucune influence historique.
1637 René Descartes, dans le Discours de la méthode, définit la méthode rationnelle...
-
CAUSALITÉ
- Écrit par Raymond BOUDON , Marie GAUTIER et Bertrand SAINT-SERNIN
- 12 987 mots
- 3 médias
...leur mode essentiel de production » (Cours de philosophie positive, 28e leçon). Cette critique de l'idée de cause va trouver dans les travaux de Joseph Fourier sur La Théorie analytique de la chaleur (1822) une caution essentielle. Le grand physicien observe, en effet : « Les causes primordiales... -
CHANGEMENT ANTHROPIQUE DU CLIMAT
- Écrit par Jean-Louis DUFRESNE et Céline GUIVARCH
- 8 203 mots
- 7 médias
Au début du xixe siècle, Joseph Fourier (1768-1830) établit que la température de la surface de la Terre dépend, d’une part, de la quantité de rayonnement solaire absorbé et, d’autre part, de la façon dont la Terre se refroidit en émettant du rayonnement infrarouge vers l’espace. Il mentionne que... - Afficher les 8 références
