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LAGRANGE JOSEPH LOUIS (1736-1813)

La résolution algébrique des équations

L'année 1771 voit paraître deux mémoires fondamentaux dans l'histoire de l'algèbre, le Mémoire sur la résolution des équations d'Alexandre Vandermonde et le mémoire de Lagrange déjà cité ci-dessus. Si le travail de Vandermonde va parfois plus loin que celui de son contemporain, il est souvent obscur, alors que la clarté de formulation et d'analyse du mémoire de Lagrange en fait un texte capital qui allait inspirer les recherches d'Abel et de Galois.

Lagrange inaugure une méthode critique cherchant à comprendre et à dégager ce qu'il appelle la « métaphysique », et qu'on appellerait la structure, de la résolution des équations par radicaux. À partir d'une étude du troisième et du quatrième degré, il est en mesure d'expliquer les raisons des succès obtenus dans ces deux cas et les échecs rencontrés dans le cas général. Indiquons les principales étapes de son analyse, Soit :

une équation du troisième degré dont les racines sont x1, x2, x3. Au moyen de la transformation :
on obtient la réduite :
dont les racines sont de la forme :
ε étant une racine cubique de l'unité. Lagrange remarque que la connaissance des nombres de ce type, appelés actuellement résolvantes de Lagrange, est équivalente à la connaissance des racines de l'équation initiale. Le succès de la résolution par radicaux s'explique ici, car la réduite se ramène au second degré en posant z = y3, ce qui est lié au fait que la fonction :
ne peut prendre que deux valeurs distinctes quand on permute les racines de toutes les manières possibles. Ces résultats conduisent Lagrange, pour une équation de degré n, à étudier le nombre s de valeurs distinctes que peut prendre une fonction rationnelle :
des n racines de l'équation. Par des raisonnements qui anticipent ce que sera la théorie des groupes, il montre par exemple que s est toujours un diviseur de n ; le raisonnement utilisé ici n'est autre que celui qui, de nos jours, montre que, dans un groupe fini, le nombre d'éléments d'un sous-groupe est toujours un diviseur du nombre d'éléments du groupe et c'est pourquoi on appelle ce dernier résultat le théorème de Lagrange (cf. groupes - Groupes finis). Le résultat le plus profond, qui débouche directement sur l'œuvre de Galois, affirme que si V1 et V2 sont deux fonctions rationnelles des racines qui sont invariantes par les mêmes permutations des racines, alors chacune d'elles est fonction rationnelle de l'autre et des coefficients de l'équation.

— Jean ITARD

—  ENCYCLOPÆDIA UNIVERSALIS

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  • : agrégé de l'Université, membre correspondant de l'Académie internationale d'histoire des sciences
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Joseph Louis Lagrange - crédits : Fine Art Images/ Heritage Images/ Getty Images

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  • RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange)

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  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

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    ...entièrement connu par la donnée d'un nombre fini de paramètres réels qj(1 ≤ j ≤ n) qui varient en fonction du temps t). La solution, due à Lagrange, consiste à chercher les « oscillations propres » (ou « en phase »), c'est-à-dire de la forme qj(t) = cjϕ(t), où cj est une constante,...

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    Né le 22 juillet 1784 à Minden en Westphalie, fils d’un petit fonctionnaire, Friedrich Wilhelm Bessel accomplit un début de scolarité si médiocre au lycée...

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    Dérivées et intégrales - crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.
    Quant à Lagrange, estimant la méthode des limites entachée d'un recours à la métaphysique et suspectant la rigueur de la méthode des infiniment petits, il s'efforça, dès 1772, de fonder l'analyse sur des méthodes algébriques et en particulier sur l'emploi des développements en séries de Taylor....
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