WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)
Fonctions de plusieurs variables complexes
L'étude des fonctions de plusieurs variables complexes, très en honneur au xxe siècle, commence par un théorème célèbre entre tous : le Vorbereitungssatz, ainsi nommé par son inventeur Weierstrass en 1879. D'après ce théorème, toute série entière à n + 1 variables x, x1, ..., xn, qui, pour x1 = ... = xn = 0, est le produit de xp, pour p ≥ 1, par une série en x à terme constant non nul, est le produit, par une série en x, x1, ..., xn à terme constant non nul, d'un polynôme :
Les conséquences de ce théorème sont très nombreuses et Weierstrass donne lui-même les deux premières : l'allure locale de l'ensemble des zéros d'une fonction holomorphe de plusieurs variables et le fait que, dans l'anneau des séries entières à plusieurs variables, les diviseurs communs à des éléments donnés (en nombre fini) sont les diviseurs d'un seul élément appelé P.G.C.D. des éléments donnés (ceux-ci sont premiers entre eux si leur P.G.C.D. est la constante 1).
Dans le même mémoire de 1879, Weierstrass établit un autre fait important : Si deux fonctions holomorphes ont au point a des développements tayloriens premiers entre eux, il en est de même en tout point assez voisin de a. Il conjectura que toute fonction méromorphe sur Cn est quotient de deux fonctions entières et même qu'on peut imposer à ces deux fonctions d'avoir en tout point des développements tayloriens premiers entre eux, mais il dut laisser l'honneur des réponses affirmatives à H. Poincaré (1883) pour la première assertion et à J. Cousin (1895) pour la seconde.
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI
Classification
Autres références
-
ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 8 528 mots
...fonctions symétriques x1 + x2 et x1x2 comme fonctions analytiques des deux variables complexes u1, u2, ces fonctions étant quadruplement périodiques. Weierstrass et Riemann menèrent à bien la solution du problème général, qui introduit un invariant algébrique fondamental, l'entier p dit «... -
GAMMA FONCTION
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 1 580 mots
- 2 médias
...constante d'Euler γ ∼ 0,577 2) lorsque n tend vers l'infini. Divisant chacun des termes du produit (x + 1)...(x + n) par l'entier correspondant pris dans n !, on a donc :puisque le produit infini est convergent ; ce développement en produit infini a été obtenu parWeierstrass.
-
HILBERT DAVID (1862-1943)
- Écrit par Rüdiger INHETVEEN , Jean-Michel KANTOR et Christian THIEL
- 14 726 mots
- 2 médias
...fonctions continues u prenant la valeur aux limites f, celle pour laquelle l'intégrale (dans le cas de deux variables) :est minimum. En 1869, K. Weierstrass avait soulevé le problème de l'existence de cette solution et H. A. Schwarz, C. Neumann, puis H. Poincaré trouvèrent dans certains cas...
-
INFINI, mathématiques
- Écrit par Jean Toussaint DESANTI
- 10 372 mots
...séries de Fourier. Depuis longtemps déjà, l'infini mathématique avait cessé d'être une source d'inquiétudes métaphysiques : A. Cauchy, B. Bolzano et K. Weierstrass l'avaient pour ainsi dire réduit à l'état domestique. Le pas décisif avait été accompli ici par Weierstrass. En arithmétisant (pour les besoins... - Afficher les 9 références
