BERNOULLI LES

Originaire d'Anvers, mais fixée à Bâle depuis la fin du xvi^e siècle, l'illustre famille des Bernoulli a donné en moins de trois générations une pléiade de mathématiciens. Adeptes enthousiastes du calcul infinitésimal alors en pleine élaboration, les frères Jacques et Jean ont joué un rôle de premier plan dans la clarification et la diffusion de ce nouveau calcul qui allait atteindre sa plus grande puissance entre les mains de leur élève L. Euler. Leur correspondance avec les plus grands mathématiciens de l'Europe constitue un extraordinaire panorama de l'activité scientifique à l'aube du xviii^e siècle. Daniel Bernoulli, fils de Jean, est surtout célèbre pour avoir appliqué avec succès à la physique le calcul infinitésimal et le calcul des probabilités élaborés par son père et son oncle.

Jacques Bernoulli

Poussé par son père, Jacques Bernoulli (1654-1705) étudie d'abord la théologie, mais il se rebelle vite contre elle et s'intéresse alors à la physique et aux mathématiques ; sa devise « Invito sidera verso » (« J'étudie les étoiles contre la volonté de mon père ») rappelle avec ironie ces dispositions contrariées. En 1687, il devint professeur à l'université de Bâle où il enseigna jusqu'à sa mort.

Après quelques traités de philosophie (de logique surtout), Jacques Bernoulli étudie l'astronomie et la physique, mais la partie la plus importante de son œuvre concerne les mathématiques ; ses apports les plus importants sont les suivants :

– Fondement de la théorie statistique du calcul des probabilités. Dès 1680, Jacques Bernoulli est déjà en possession du « théorème des grands nombres ». Son grand traité posthume, Ars conjectandi(1713), contient de nombreux résultats et on peut dire qu'il constitue le premier ouvrage sur le calcul des probabilités ; en particulier la notion de probabilité y est clairement définie et on y trouve les célèbres et si importants nombres de Bernoulli.

– Systématisation du calcul infinitésimal. En 1687, Jacques écrit à Leibniz pour lui demander de lui préciser de nombreux points obscurs des premiers fondements du calcul infinitésimal parus dans les Acta eruditorum en 1684. Leibniz, absent de Hanovre, ne répondit qu'en 1690 et la tradition veut que pendant ces trois années d'attente Jacques Bernoulli ait réinventé le calcul leibnizien ; ce qui est certain, c'est que parmi tous les savants qui étaient en correspondance avec Leibniz, il fut le premier à comprendre le calcul infinitésimal et le perfectionna considérablement ; il initia son frère Jean à l'analyse mathématique et donna de nombreuses applications à la mécanique et à la géométrie qui contribuèrent à la diffusion du nouveau calcul. C'est également lui qui introduit vers 1690 l'expression « calcul intégral » (alors que Lebniz disait « calcul sommatoire ») pour exprimer que dans ce calcul on cherche à exprimer le tout à partir de la partie. Jacques Bernoulli a étudié en détail la chaînette et a découvert de nombreuses propriétés de la spirale logarithmique ; à ce propos, il introduit pour la première fois les coordonnées polaires en géométrie analytique et étudie très en détail la fonction exponentielle et ses rapports avec le logarithme. On lui doit également la résolution de l'équation différentielle dite de Bernoulli. – Calculs des variations.Avec l'étude et la résolution du problème de l'isopérimètre, qui est la recherche parmi toutes les courbes de longueur donnée de celle qui limite une aire maximale (la solution est le cercle), Jacques Bernoulli résout un problème de calcul des variations : la solution revient à étudier les extrema d'une intégrale quand la fonction sous le signe d'intégration est soumise à certaines conditions ; en 1697, il résoudra, en même [...]