LIMITE (mathématique)

La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de nombres réels, puis en 1823 par le mathématicien français Augustin-Louis Cauchy, qui la met à la base du calcul infinitésimal et introduit la notation « lim » pour « limite », elle reçut une définition précise et générale grâce aux notions d'espace topologique, donnée par le mathématicien allemand Felix Hausdorff en 1914, et de filtre, introduite en 1937 par le mathématicien français Henri Cartan.

Des images géométriques intuitives permettent d'approcher la notion de limite.

Imaginons, dans un plan, deux courbes ayant des branches infinies qui se rapprochent indéfiniment l'une de l'autre (on dit qu'elles sont asymptotiques) : leur distance, c'est-à-dire la distance minimale d'un point d'une courbe à l'autre courbe, diminue constamment lorsque ce point se déplace (dans le « bon » sens) sur sa courbe, mais n'est jamais nulle ; on peut dire que, dans ces conditions, cette distance a pour limite 0 et que cette limite n'est pas atteinte.

Une autre image consiste à concevoir une courbe qui s'enroule indéfiniment en spirale autour d'un point, sans l'atteindre : elle tourne autour de ce point, qui est pour elle un point limite. Une courbe peut avoir deux ou plusieurs points limites non atteints : dans un plan, imaginons une courbe C qui s'enroule alternativement autour de deux points A et B en passant de l'un à l'autre comme lorsque l'on trace le chiffre « 8 », mais en se rapprochant constamment de A et de B, sans pour autant les atteindre.

Dans ces trois exemples, la limite n'est pas atteinte. Mais, pour la courbe C' formée de la réunion de la courbe C et du point A, le point A est un point limite qui est « atteint ».

Sur un segment de droite, choisissons deux points N et P distants d'une longueur d. Partant de N, on peut évidemment atteindre P en parcourant la distance d. On aura d'abord parcouru la distance d /2 pour atteindre le milieu M de NP, puis la distance d /4 pour atteindre le milieu de MP, etc. : la distance restant à parcourir, égale à d /(2ⁿ) au n-ième « milieu » atteint, devient de plus en plus petite mais n'est jamais nulle – on reconnaît là l'un des paradoxes de Zénon d'Élée (v^e siècle av. J.-C.). Quand n augmente indéfiniment (on dit que « n tend vers plus l'infini », et on note n → + ∞), cette distance d /(2ⁿ) a pour limite 0, sans l'atteindre : on dit que la suite de terme général d /(2ⁿ) a pour limite 0 quand n tend vers plus l'infini. On peut relier le fait que le point P est pourtant atteint, au fait que « la série infinie de terme général 1 /2ⁿ est convergente », c'est-à-dire que la somme infinie d /2 + d /4 + ... + d /(2ⁿ) + ... a une valeur finie, égale à d. En effet, 1 /2 + 1 /4 + ... + 1 /(2ⁿ) + ... = 1. La notion de limite est donc liée aux infiniment petits et au calcul infinitésimal qui fut développé aux xvii^e et xviii^e siècles.

Venons-en au cas d'une fonction numérique, c'est-à-dire dont l'ensemble d'arrivée est un ensemble de nombres, par exemple l'ensemble des nombres réels ℝ. Si, dans certaines conditions, les valeurs de la fonction se rapprochent indéfiniment d'un certain nombre, cette fonction a, dans ces conditions, une limite, qui est ce nombre.

Soit par exemple h la fonction de ℝ dans ℝ définie par h (x) = sin(1 /x), où « sin » signifie sinus (elle n'est donc pas définie si x = 0). Lorsque x croît indéfiniment, h a pour limite 1. Lorsque x tend vers 0,1[...]