LINÉAIRE ALGÈBRE

L' algèbre linéaire sur un corps commutatif, telle qu'on la trouvera présentée ici, s'est progressivement dégagée, au cours du xix^e siècle et au début du xx^e, de la théorie des équations linéaires (systèmes de n équations linéaires à p inconnues, équations différentielles et intégrales linéaires) et de la géométrie (calcul vectoriel dans les espaces affines, transformations des espaces projectifs, dualité pour les sous-variétés linéaires et les quadriques, structure même de la géométrie). L'algèbre multilinéaire sur un corps commutatif a pris naissance dans la théorie des invariants et dans la partie de la géométrie différentielle consacrée au calcul tensoriel. Plus récemment, on a développé l'algèbre linéaire sur un anneau afin d'appliquer les méthodes de l'algèbre linéaire sur les corps à la théorie des groupes abéliens, considérés comme Z-modules, à la théorie des entiers algébriques sur un anneau commutatif unitaire, considérés comme éléments d'un module sur cet anneau, à la représentation linéaire d'un groupe dans un espace vectoriel, considéré comme module sur l'algèbre de ce groupe, et à l'étude des formes quadratiques sur Z. Enfin, ces dernières années ont été introduites l'algèbre homologique et, plus généralement, la théorie des catégories abéliennes, permettant d'appliquer la théorie des modules à des domaines où elle semblait inopérante (théorie des fibrés vectoriels et des faisceaux).

On trouvera un aperçu historique plus complet dans l'article algèbre. D'autre part, on trouvera des détails sur les applications de l'algèbre linéaire dans de nombreux articles tels que groupes (Mathématiques)-Groupes classiques et géométrie, Groupes de Lie et théorie des nombres - Nombres algébriques. Bien entendu, la liste précédente n'est pas exhaustive : on pourrait, à la limite, affirmer que l'algèbre linéaire a envahi tous les domaines des mathématiques. À titre d'exemple, on consultera les applications à la théorie des équations algébriques (cf. corps [Mathématiques]) et à l'analyse fonctionnelle (cf. équations aux dérivées partielles, distributions [Mathématiques], algèbres normées, espaces vectoriels normés).

Dans le présent article sera d'abord exposée la théorie des espaces vectoriels sur un corps commutatif, indépendamment de la notion de dimension. L'explicitation des résultats obtenus lorsque les espaces vectoriels sont de dimension finie et munis de bases fait l'objet du paragraphe consacré au calcul matriciel. Dans cette partie, l'exposé reste élémentaire, et la plupart des théorèmes sont accompagnés de démonstrations. Suivent quelques indications sur l'algèbre tensorielle et la théorie des modules.

En ce qui concerne la réduction des endomorphismes et la théorie des formes quadratiques, on se reportera aux articles : théorie spectrale et formes quadratiques.

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels

Soit K un corps commutatif. On appelle espace vectoriel sur K, ou encore K-espace vectoriel, un ensemble E muni de deux lois de composition : une loi interne, application de E × E dans E, notée (x, y) ↦ x + y et une loi externe, application de K × E dans K, notée (α, x) ↦ α ( x, ou encore (α, x) ↦ αx ; ces deux lois satisfaisant aux conditions suivantes :

(a) L'ensemble E, muni de l'addition, est un groupe commutatif. (b) Pour tout couple (α, β) d'éléments de K et pour tout élément x de E :

et, pour tout élément x de E, 1 ( x = x. (c) Pour tout couple (α, β) d'éléments de K et pour tout couple (x, y) d'éléments de E :

Les éléments de E sont souvent appelés vecteurs, les éléments de K scalaires.