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LINÉAIRE ALGÈBRE

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Sommes directes, bases

Sommes directes

Soit (Ei)i∈I une famille d'espaces vectoriels sur K. Dans l'espace vectoriel :

l'ensemble des éléments (xi)i∈I à support fini est un sous-espace vectoriel de cet espace vectoriel, appelé somme directe de la famille (Ei)i∈I, et noté :
il coïncide avec l'espace vectoriel produit lorsque l'ensemble I est fini.

Soit, en particulier, E un espace vectoriel sur K, soit (Ei)i∈I une famille de sous-espaces vectoriels de E, et U l'application linéaire de la somme directe de cette famille dans E qui à tout élément (xi)i∈I associe l'élément :

Alors l'image de U est la somme :

des sous-espaces vectoriels Ei, et le noyau de U est l'ensemble des éléments (xi)i∈I tels que :

Ainsi, pour que U soit surjective, il faut et il suffit que :

et, pour que U soit injective, il faut et il suffit que, pour tout i ∈ I :

Lorsque ces deux conditions sont réalisées, c'est-à-dire lorsque U est un isomorphisme, il est d'usage d'identifier E et :

ce qui conduit à dire que E est somme directe des sous-espaces vectoriels Ei.

Enfin, pour que E soit somme directe des sous-espaces vectoriels Ei, il faut et il suffit que tout vecteur x de E s'écrive d'une manière et d'une seule sous la forme :

où, pour tout élément i de I, xi appartient à Ei.

L'intérêt de la notion de somme directe apparaît dans le théorème suivant.

Théorème 3. Soit E et F deux espaces vectoriels sur K, et (Ej)j∉J une famille de sous-espaces vectoriels de E dont E est somme directe.

1. Pour tout élément (Uj)j∈J de :

il existe une application linéaire U et une seule de E dans F telle que, pour tout élément j de J, la restriction de U à Ej soit égale à Uj. À tout vecteur x de E, écrit sous la forme :
où, pour tout j ∈ J, xj ∈ Ej, l'application U associe le vecteur :

2. L'application (Uj)j∈J ↦ U est un isomorphisme de l'espace vectoriel :

sur l'espace vectoriel :

En particulier, deux applications linéaires de E dans F ayant, pour tout élément j de J, même restriction au sous-espace vectoriel Ej sont égales.

Sous-espaces vectoriels supplémentaires, projecteurs

On dit que deux sous-espaces vectoriels F et G d'un espace vectoriel E sur K sont supplémentaires dans E si les trois conditions équivalentes suivantes sont vérifiées :

(a) L'espace vectoriel E est somme directe de F et de G.

(b) Tout vecteur x de E s'écrit d'une manière et d'une seule sous la forme x = y + z, où y ∈ F et z ∈ G.

(c) La réunion de F et de G engendre E, et l'intersection de F et de G est réduite au vecteur nul.

L'application PF qui associe au vecteur x le vecteur y est un endomorphisme de E, appelé projecteur sur F parallèlement à G. Le vecteur y est appelé projection de x sur F parallèlement à G. On définit de même PG.

Le projecteur PF a pour image F et pour noyau G, et les endomorphismes PF et PG satisfont aux relations :

Les seules relations PF + PG = IE et PF2 = PF impliquent les relations (1) à  (3).  En  effet  PFPG = PF(IE − PF) = PF − PF2 = 0 ; de même, PGPF = 0 ; enfin :

C'est pourquoi on dit qu'un endomorphisme U de E est un projecteur si U2 = U. L'endomorphisme U est alors le projecteur sur Im(U) parallèlement à Ker(U).

Par exemple, dans l'espace vectoriel F(A, K) des applications d'un ensemble A dans K, le sous-espace vectoriel F des applications nulles en un point donné a de A et le sous-espace vectoriel G des applications constantes sont supplémentaires. Le projecteur sur G parallèlement à F est l'application f ↦ f (a).

De même, dans l'espace vectoriel sur C des fonctions n fois continûment dérivables sur R à valeurs complexes, le sous-espace vectoriel F des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à [...]

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  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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