LINÉAIRE ALGÈBRE

Sommes directes

Soit (E_i)_i∈I une famille d'espaces vectoriels sur K. Dans l'espace vectoriel :

Soit, en particulier, E un espace vectoriel sur K, soit (E_i)_i∈I une famille de sous-espaces vectoriels de E, et U l'application linéaire de la somme directe de cette famille dans E qui à tout élément (x_i)_i∈I associe l'élément :

Alors l'image de U est la somme :

Ainsi, pour que U soit surjective, il faut et il suffit que :

Lorsque ces deux conditions sont réalisées, c'est-à-dire lorsque U est un isomorphisme, il est d'usage d'identifier E et :

Enfin, pour que E soit somme directe des sous-espaces vectoriels E_i, il faut et il suffit que tout vecteur x de E s'écrive d'une manière et d'une seule sous la forme :

L'intérêt de la notion de somme directe apparaît dans le théorème suivant.

Théorème 3. Soit E et F deux espaces vectoriels sur K, et (E_j)_j∉J une famille de sous-espaces vectoriels de E dont E est somme directe.

1. Pour tout élément (U_j)_j∈J de :

2. L'application (U_j)_j∈J↦ U est un isomorphisme de l'espace vectoriel :

En particulier, deux applications linéaires de E dans F ayant, pour tout élément j de J, même restriction au sous-espace vectoriel E_j sont égales.

Sous-espaces vectoriels supplémentaires, projecteurs

On dit que deux sous-espaces vectoriels F et G d'un espace vectoriel E sur K sont supplémentaires dans E si les trois conditions équivalentes suivantes sont vérifiées :

(a) L'espace vectoriel E est somme directe de F et de G.

(b) Tout vecteur x de E s'écrit d'une manière et d'une seule sous la forme x = y + z, où y ∈ F et z ∈ G.

(c) La réunion de F et de G engendre E, et l'intersection de F et de G est réduite au vecteur nul.

L'application P_F qui associe au vecteur x le vecteur y est un endomorphisme de E, appelé projecteur sur F parallèlement à G. Le vecteur y est appelé projection de x sur F parallèlement à G. On définit de même P_G.

Le projecteur P_F a pour image F et pour noyau G, et les endomorphismes P_F et P_G satisfont aux relations :

Les seules relations P_F + P_G = I_E et P_F² = P_F impliquent les relations (1) à  (3).  En  effet  P_FP_G = P_F(I_E − P_F) = P_F − P_F² = 0 ; de même, P_GP_F = 0 ; enfin :

C'est pourquoi on dit qu'un endomorphisme U de E est un projecteur si U² = U. L'endomorphisme U est alors le projecteur sur Im(U) parallèlement à Ker(U).

Par exemple, dans l'espace vectoriel F(A, K) des applications d'un ensemble A dans K, le sous-espace vectoriel F des applications nulles en un point donné a de A et le sous-espace vectoriel G des applications constantes sont supplémentaires. Le projecteur sur G parallèlement à F est l'application f ↦ f (a).

De même, dans l'espace vectoriel sur C des fonctions n fois continûment dérivables sur R à valeurs complexes, le sous-espace vectoriel F des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à [...]