LINÉAIRE ALGÈBRE

Définition

On dit qu'un espace vectoriel E sur K est de dimension finie sur K, ou, plus simplement, de dimension finie, s'il existe une partie génératrice finie de E. Dans le cas contraire, on dit que E est de dimension infinie.

Pour qu'un espace vectoriel E soit de dimension finie, il faut et il suffit qu'il existe une partie basique finie de E, puisque de toute partie génératrice on peut extraire une partie basique.

Théorème 10. Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur K, et B une partie basique finie de E ayant n éléments. Alors toute partie libre L de E est finie, et le nombrep d'éléments de L est inférieur ou égal à n. De plus, on peut compléter L en une partie basique de E en lui adjoignant (n − p) éléments convenablement choisis dans B.

Le théorème se démontre en utilisant le lemme d'échange suivant, qui fournit en outre un procédé pratique de complétion de L en une partie basique.

Lemme. Soit B = (e₁, e₂, ..., e_n) une base de E, soit q un entier inférieur ou égal à n, et L_q = (f ₁, f ₂, ..., f _q) une famille libre de E. On suppose que B_q = (f ₁, f ₂, ..., f _q-1, e_q, ..., e_n) est une base de E. Alors il existe au moins un entier i ∈ [q, n]tel qu'en substituant f _q à e_i dans B_q on obtienne encore une base de E, notée B_q+1.

Il suffit pour cela de décomposer f _q dans la base B_q. Puisque L_q est libre, il existe au moins un entier i ∈ [q, n]tel que la i-ième composante de f _q soit non nulle. Il est alors immédiat que cet entier i convient.

Corollaire 1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur K. Toutes les parties basiques de E sont finies, et elles ont le même nombre d'éléments.

Il résulte en effet du théorème 10 que toutes les parties basiques de E sont finies. Soit donc B et B′ deux parties basiques de E, ayant respectivement n et n′ éléments. Comme B est basique et que B′ est libre, n′ ≤ n ; de même, n ≤ n′, et finalement n = n′.

Le cardinal commun à toutes les parties basiques de E s'appelle dimension de E sur K, et se note dim_KE, ou, plus simplement, dim E. L'espace vectoriel réduit au vecteur nul est le seul espace vectoriel de dimension 0. Un espace vectoriel de dimension 1 s'appelle une droite, un espace vectoriel de dimension 2 s'appelle un plan.

Voici quelques exemples :

Soit I un ensemble non vide. L'espace vectoriel K^(I) est de dimension finie si et seulement si I est fini, et la dimension de K^(I) est alors égale à card(I). En particulier, pour tout entier naturel non nul n, Kⁿ est de dimension n.

Soit E et F deux espaces vectoriels sur K non réduits à {0}, soit B = (e_j)_j∈J une base de E, et B′ = (f _i)_i∈I une base de F. Pour tout élément (i, j) de I × J, désignons par U_ij l'unique application linéaire de E dans F telle que, pour tout élément k de J,

Les applications linéaires U_ij constituent une base de l'espace vectoriel L(E, F), dite associée aux bases B et B′. En particulier, si E et F sont de dimension finie, il en est de même de L(E, F), et :

(Notons que cette formule reste valable si E ou F est réduit à {0}.)

Plus particulièrement encore, l'espace vectoriel des endomorphismes de E est de dimension finie, et :

Soit E un espace vectoriel sur K non réduit à {0}, et B = (e_j)_j∈J une base de E. Pour tout élément i de J, l'unique forme linéaire e*_i telle que, pour tout élément j de J :

s'appelle i-ième forme linéaire coordonnée. La famille (e*_j)_j∈J des formes linéaires coordonnées est libre ; pour que ce soit une base de E*, il faut et il suffit que E soit de dimension finie. Cette base s'appelle base duale de la base B, et se note B*. Nous voyons ainsi que l'espace vectoriel dual de E est de dimension finie si et seulement si E est de dimension finie, et que, dans ces conditions :[...]