LINÉAIRE ALGÈBRE

Matrices et applications linéaires

Soit E et F deux espaces vectoriels sur K non réduits à {0}, de dimensions respectives p et n, soit B = (e₁, e₂, ...., e_p) une base de E, soit B′ = (f ₁, f ₂, ..., f _n) une base de F et U une application linéaire de E dans F. Pour tout élément j de [1, p], le vecteur U(e_j) se décompose d'une manière et d'une seule dans la base B′ sous la forme :

Ainsi, à toute application linéaire U de E dans F nous pouvons associer une famille (α_ij) d'éléments de K. Réciproquement, pour toute famille (α_ij) d'éléments de K, où (i, j) ∈ [1, n] × [1, p], il existe une application linéaire U et une seule de E dans F satisfaisant aux conditions (1).

Nous sommes donc amené à introduire les définitions suivantes, utiles pour les calculs explicites concernant les applications linéaires : Soit K un corps commutatif, n et p deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice à n lignes et p colonnes à éléments dans K toute famille :

L'indice i s'appelle indice de ligne, l'indice j, indice de colonne. Pour tout élément i de [1, n], la suite (α_ij)_1≤j≤p s'appelle i-ième ligne de M ; pour tout élément j de [1, p], la suite (α_ij)_1≤i≤n s'appelle j-ième colonne de M.

Le vecteur de K^p dont les composantes constituent la i-ième ligne de M s'appelle i-ième ligne de M ; le vecteur de Kⁿ dont les composantes constituent la j-ième colonne de M s'appelle j-ième vecteur colonne de M.

Lorsque n = 1, on dit que M est une matrice ligne ; lorsque p = 1, on dit que M est une matrice colonne.

L'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à éléments dans K, se note M_n,_p(K). Lorsque n = p, on dit que M est une matrice carrée d'ordre n. L'ensemble des matrices carrées d'ordre n à éléments dans K se note M_n(K).

Soit, plus généralement, A, I et J trois ensembles, I et J étant finis. On appelle matrice de type (I, J) à éléments dans A toute famille :

Reprenons maintenant le problème initial : la matrice M = (α_ij) définie par la formule (1) est dite associée à l'application linéaire U dans les bases B et B′, et notée M_B,B′(U). La matrice M a pour j-ième colonne la famille des composantes dans la base B′ de l'image par U du j-ième vecteur de la base B. L'application qui à toute application linéaire U de E dans F associe la matrice M_B,B′(U) est une bijection de L(E, F) sur M_n,p(K).

En particulier, lorsque E = F, U est un endomorphisme de E. La matrice M_B,B′(U) est une matrice carrée, appelée matrice associée à l'endomorphisme U dans la base B, et notée plus simplement M_B(U).

Toute matrice peut être considérée comme une matrice associée à une application linéaire : pour tout élément M de M_n,p(K), il existe une application linéaire et une seule de l'espace vectoriel K^p dans l'espace vectoriel Kⁿ dont la matrice associée dans les bases canoniques de ces espaces vectoriels soit M. Cette application linéaire s'appelle application linéaire de K^p dans Kⁿ canoniquement associée à M.

Opérations sur les matrices

La bijection canonique ϕ de Mn,p(K) sur L(K^p, Kⁿ) ainsi introduite conduit aux définitions qui suivent.

Somme de deux matrices. On appelle somme de deux éléments M = (α_ij) et M′ = (α′_ij) de M_n,p(K), et on note M + M′, l'élément (β_ij) de M_n,p(K) défini par les relations :

Produit d'une matrice par un scalaire. On appelle produit d'un élément M = (α_ij) de M_n,p(K) par un scalaire λ, et on note λM, l'élément (β[...]