LINÉAIRE ALGÈBRE

Définitions

Soit p un entier naturel non nul, soit E₁, E₂, ..., E_p et F des espaces vectoriels sur K. On dit qu'une application S de E₁× E₂ × ... × E_p dans F est multilinéaire, si, pour tout élément j de [1, p], toute application partielle S_j de E_j dans F est linéaire. Lorsque F = K, on dit que S est une forme multilinéaire.

Soit E un espace vectoriel sur K. Les applications multilinéaires de E^p dans F s'appellent applications p-linéaires sur E à valeurs dans F, et les formes multilinéaires, formes p-linéaires.

Voici quelques cas particuliers :

Soit S une application p-linéaire sur E à valeurs dans F. On dit que S est alternée si, pour toute suite (x₁, x₂, ..., x_p) de vecteurs de E contenant deux vecteurs égaux :

On dit que S est symétrique si, pour toute permutation σ de [1, p]et pour toute suite (x₁, x₂, ..., x_p) de vecteurs de E :

On dit que S est antisymétrique si, dans les mêmes conditions :

Toute application p-linéaire alternée est antisymétrique ; la réciproque devient vraie si la caractéristique du corps K est différente de 2.

Pour qu'une application p-linéaire S soit alternée, il faut et il suffit que, pour toute suite (x₁, x₂, ..., x_p) de vecteurs de E contenant deux vecteurs consécutifs x_i et x_i+1 égaux :

Si S est alternée, on ne change pas la valeur de S sur une suite de p vecteurs de E en ajoutant à l'un de ces vecteurs une combinaison linéaire des autres. En particulier, si l'un des vecteurs x₁, x₂, ..., x_p est une combinaison linéaire des autres, S(x₁, x₂, ..., x_p) = 0.

Les applications p-linéaires sur E à valeurs dans F constituent un sous-espace vectoriel, noté M_p(E, F), de l'espace vectoriel F(E^p, F) des applications de E^p dans F. Lorsque p = 1, M_p(E, F) n'est autre que L(E, F). Les applications p-linéaires symétriques et les applications p-linéaires alternées constituent des sous-espaces vectoriels de M_p(E, F), notés respectivement S_p(E, F) et A_p(E, F). Enfin, lorsque F = K, ces divers espaces vectoriels se notent plus simplement M_p(E), S_p(E) et A_p(E).

Extension d'une application linéaire

Voici une généralisation de la transposition : Soit E, E′ et F trois espaces vectoriels sur K, et U une application linéaire de E′ dans E. Pour toute application p-linéaire S sur E à valeurs dans F, l'application S_U de E′^p dans F définie par la formule :

Lorsque U est l'homothétie de rapport α dans l'espace vectoriel E, l'application U_p n'est autre que l'homothétie de rapport α^p dans l'espace vectoriel M_p(E, F).

Voici maintenant une méthode générale de construction d'applications p-linéaires symétriques, ou alternées : Pour toute application p-linéaire S de E dans F, les applications M(S) et A(S) de E^p dans F, définies pour les formules :

Formes multilinéaires

Lorsque F = K, nous allons étudier la structure de M_p(E), de S_p(E) et de A_p(E).

Nous allons d'abord construire des formes p-linéaires à l'aide de formes linéaires.

Soit (y^*₁, y^*₂, ..., y^*_p) une suite de p formes linéaires sur E. L'application f de E^p dans[...]