LINÉAIRE ALGÈBRE

Déterminant de n vecteurs

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K, et B = (e₁, e₂, ..., e_n) une base de E. La base de A_n(E) canoniquement associée à B est réduite à la forme n-linéaire alternée e^*₁∧ e^*₂∧ ... ∧ e^*_n ; celle-ci est la seule forme n-linéaire alternée sur E prenant la valeur 1 sur (e₁, e₂, ..., e_n). On l'appelle déterminant dans la base B, et on la note det_B. Pour tout élément f de A_n(E) et pour toute suite (x₁, x₂, ..., x_n) de vecteurs de E :

Les propriétés des formes n-linéaires alternées s'appliquent à det_B. De plus, le critère d'indépendance linéaire de n vecteurs s'énonce ici : pour que (x₁, x₂, ..., x_n) soit libre, il faut et il suffit que det_B(x₁, x₂, ..., x_n) ≠ 0.

Déterminant d'un endomorphisme

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K. Puisque A_n(E) est de dimension 1, tout endomorphisme de A_n(E) est une homothétie. En particulier, pour tout endomorphisme U de E, l'extension U_n de U à l'espace vectoriel A_n(E) est une homothétie ; le rapport de cette homothétie s'appelle déterminant de l'endomorphisme U, et se note det U. Ainsi, par définition de det U, pour tout élément f de A_n(E) :

Des propriétés des extensions des applications linéaires on déduit les résultats suivants :

– Pour tout couple (U, V) d'endomorphismes de E :

– Pour qu'un endomorphisme U de E soit inversible, il faut et il suffit que son déterminant soit non nul ; dans ces conditions :

L'application U ↦ det U est donc un morphisme du groupe linéaire GL(E) dans le groupe multiplicatif K*. Le noyau de ce morphisme est un sous-groupe distingué de GL(E), appelé groupe spécial linéaire de E, et noté SL(E).

Déterminant d'une matrice carrée

On appelle déterminant d'un élément M de M_n(K), et on note det M le déterminant de l'endomorphisme de K_n canoniquement associé à M. Les propriétés du déterminant d'un endomorphisme se transcrivent aussitôt pour les matrices. De plus, le déterminant de M n'est autre que le déterminant de ses vecteurs colonnes, ou de ses vecteurs lignes, dans la base canonique de Kⁿ. Enfin, les matrices de déterminant 1 constituent un sous-groupe distingué de GL_n(K), noté SL_n(K).

En utilisant la caractérisation du déterminant de n vecteurs, on démontre la proposition suivante : soit n et p deux entiers naturels non nuls tels que p < n, soit A un élément de M_p(K), soit B un élément de M_n-p(K), soit C un élément de M_p,n−p(K), et M l'élément de M_n(K) défini par la formule :

Alors :

On peut en déduire la formule de développement d'un déterminant suivant une colonne, ou une ligne. Considérons pour cela un élément M = (α_ij) de M_n(K), où n > 1 ; pour tout couple (i, j) d'éléments de [1, n], notons A_ij la matrice carrée d'ordre n − 1 obtenue en supprimant la i-ième ligne et la j-ième colonne de M. Alors, pour tout élément j de [1, n] :

On est ainsi amené à considérer la matrice M′ dont les éléments α′_ij sont définis par la relation :

La transposée de M′ s'appelle matrice complémentaire de M, et se note M∼. Il en découle immédiatement que :

En particulier, lorsque M est inversible :