LINÉAIRE ALGÈBRE

Produit tensoriel d'espaces vectoriels

La notion de produit tensoriel sert à remplacer l'étude des applications multinéaires par celle des applications linéaires. Plus précisément, on obtient le résultat suivant.

Théorème 17. Soit E₁, E₂, ..., E_p des espaces vectoriels sur K. Il existe un couple (G, T) constitué d'un espace vectoriel G sur K et d'une application multilinéaire T de E₁ × E₂× ... × E_p dans G possédant la propriété universelle suivante : Pour tout couple (F, S) constitué d'un espace vectoriel F sur K et d'une application multilinéaire S de E₁ × E₂ × ... × E_p dans F, il existe une application linéaire S∼ et une seule de G dans F telle que S = S∼ ∘ T. Un tel couple (G,T) est unique à isomorphisme près. L'espace vectoriel G s'appelle produit tensoriel des espaces vectoriels E₁, E₂, ..., E_p, et se note E₁ ⊗ E₂ ⊗ ... ⊗ E_p. L'application multilinéaire T se note :

L'application S ↦ S∼ est un isomorphisme de l'espace vectoriel M(E₁ × E₂× ... × E_p, F) des applications multilinéaires de E₁× E₂ × ... × E_p dans F sur l'espace vectoriel L(E₁⊗ E₂⊗ ... ⊗ E_p, F). Les éléments de E₁⊗ E₂⊗ ... ⊗ E_p de la forme x₁⊗ x₂⊗ ... ⊗ x_p sont dits décomposables ; ils constituent une partie génératrice de E₁⊗ E₂⊗ ... ⊗ E_p. Si, pour tout élément j de [1, p], E_j est de dimension finie n_j et est muni d'une base B_j = (e_ij), alors les éléments e_i1,₁ ⊗ e_i2,₂ ⊗ ... ⊗ e_ip,_p constituent une base de E₁ ⊗ E₂ ⊗ ... ⊗ E_p, dite canoniquement associée aux bases B_j. En particulier :

Soit maintenant (E₁, E₂, ..., E_p) et (F₁, F₂, ..., F_p) deux suites d'espaces vectoriels sur K, et, pour tout élément j de [1, p], U_j un élément de L(E_j, F_j). Il existe alors une application linéaire U et une seule de E₁ ⊗ E₂ ⊗ ... ⊗ E_p dans F₁ ⊗ F₂ ⊗ ... ⊗ F_p telle que, pour tout élément (x₁, x₂, ... x_p) de E₁ ⊗ E₂ ⊗ ... ⊗ E_p :

On l'appelle produit tensoriel des applications linéaires U_j, et on la note U₁ ⊗ U₂ ⊗ ... ⊗ U_p.

Trace d'un endomorphisme

Soit E et F deux espaces vectoriels sur K. Pour tout élément (a*, b) de E* × F, l'application U_a*,b qui à tout vecteur x de E associe le vecteur <a*, x> b de F est une application linéaire de E dans F ; on l'appelle application linéaire élémentaire associée à (a*, b). Si a* et b ne sont pas nuls, l'image de U_a*,b est la droite Kb de F, et son noyau est l'hyperplan de E noyau de la forme linéaire a*. De plus, l'application (a*, b) ↦ U_a*,b est une application bilinéaire de E* × F dans L(E, F).

Il existe une application linéaire j et une seule de E* ⊗ F dans L(E, F) telle que, pour tout élément (y*, z) de E* × F :

En effet, l'application (y*, z) ↦ U_y*,z est une application bilinéaire de E* × F dans L(E, F). La propriété universelle du produit tensoriel E* ⊗ F montre alors l'existence et l'unicité de j.

De plus, si E et F sont de dimension finie, j est un isomorphisme, car j est injective et que :

Soit enfin E un espace vectoriel sur K. Il existe une forme linéaire c et une seule sur l'espace vectoriel E* ⊗ E telle que, pour tout élément (y*, x) de E* × E :

L'application c s'appelle contraction canonique de E* ⊗ E dans K.

En effet, l'application (y*, x) ↦ <y*, x> est une application bilinéaire de E* × E dans K. La propriété universelle du produit tensoriel E* ⊗ E prouve l'existence et l'unicité de c.

En combinant les résultats précédents, nous obtenons le théorème qui suit.

Théorème 18. Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur K. Il existe une forme linéaire et une seule sur l'espace vectoriel L(E), appelée trace et notée tr,[...]