LINÉAIRE ALGÈBRE

Existence de bases

Une différence essentielle avec les espaces vectoriels est la suivante : il peut arriver qu'une partie réduite à un élément non nul ne soit pas libre. C'est le cas pour les éléments de Z/nZ, considéré comme Z-module.

De plus, alors que, dans tout espace vectoriel, il existe des bases (cf. théorème 8), il n'en est pas de même dans tout module, même lorsqu'il existe une partie génératrice réduite à un seul élément ; c'est le cas pour Z/nZ. Un module admettant une base est dit libre.

Existence de supplémentaires

De même, le théorème 9 ne se généralise pas à tous les modules. Ainsi, le sous-module du Z-module Z engendré par 2 n'admet pas de sous-module supplémentaire. Un sous-module admettant un supplémentaire est appelé facteur direct.

On dit qu'un A-module E est semi-simple si tout sous-module de E est un facteur direct. La théorie des modules semi-simples est utile pour la réduction des endomorphismes : Soit en effet U un endomorphisme d'un espace vectoriel E, et A le sous-anneau de L(E) engendré par U. L'application (V, x) ↦ V(x) fait de E un A-module. Les sous-modules de E ne sont autres que les sous-espaces vectoriels de E stables par U. Pour que le module E soit semi-simple, il faut et il suffit que tout sous-espace vectoriel stable par U admette un supplémentaire stable. On dit alors que U est semi-simple.

Plus généralement, la théorie des modules semi-simples est utile pour la représentation linéaire des groupes (cf. groupes - Groupes de Lie), où elle intervient sous le nom de complète réductibilité.

Modules de type fini

On dit qu'un A-module E est de type fini s'il existe une partie génératrice finie de E. (Ici, la terminologie « de dimension finie » serait désastreuse, puisqu'un module de type fini peut très bien ne pas avoir de base.) Même lorsque E est un A-module libre de type fini, il peut arriver qu'il existe deux bases finies de E n'ayant pas le même nombre d'éléments. Cependant, ce phénomène ne se produit pas lorsque l'anneau A est commutatif.

On peut envisager deux généralisations « raisonnables » du théorème 11 concernant les sous-espaces vectoriels des espaces vectoriels de dimension finie :

1. Un sous-module d'un A-module de type fini n'est pas, en général, de type fini ; c'est cependant le cas lorsque l'anneau A est noethérien. L'importance de ce cas apparaît dans la théorie des polynômes et en géométrie algébrique.

2. Un sous-module d'un A-module libre n'est pas nécessairement libre ; c'est cependant le cas lorsque l'anneau A est principal. Les résultats sont riches en applications pour la théorie des groupes abéliens et la réduction des endomorphismes, à propos des diviseurs élémentaires (cf. théorie spectrale).

Applications multilinéaires et déterminants

Les résultats des chapitres 6 et 7 s'étendent sans changement au cas des A-modules libres de type fini sur un anneau commutatif, sauf les critères d'indépendance linéaire et d'inversibilité. En particulier, pour[...]