CAFFARELLI LUIS (1948- )

Mathématisation de la dynamique des fluides

À partir de 1980, il aborde avec le mathématicien canado-américain Louis Nirenberg (1925-2020, Prix Abel 2015), professeur à l'institut Courant (New York), le domaine des équations régissant la dynamique des fluides. Ils étudient en particulier les équations de Navier-Stokes, introduites en 1822 par le physicien et ingénieur français Claude Louis Navier (1785-1836) pour décrire les écoulements des fluides visqueux, et formalisées vingt ans plus tard par le mathématicien irlandais George Gabriel Stokes (1819-1903). Ces équations sont couramment utilisées par les ingénieurs dans des domaines aussi variés que la construction des avions ou des automobiles, la circulation sanguine, l'analyse de la diffusion de la pollution et la modélisation des courants océaniques ou des phénomènes météorologiques. D'un point de vue mathématique, ces équations aux dérivées partielles qu'on appelle paraboliques – car les coefficients des opérateurs de dérivation obéissent aux mêmes contraintes que les coefficients des coordonnées dans l'équation d'une parabole – posent des problèmes ardus concernant l'existence et la régularité de leurs solutions. En 1982, Caffarelli, Nirenberg et Robert Kohn (né en 1953) publient dans la revue américaine Communications on Pure and AppliedMathematicsla preuve de la quasi-régularité d'une classe étendue de solutions des équations de Navier-Stokes. En 2014, la Société mathématique américaine (AMS) soulignera, en leur attribuant le prix Steele, que cet article a été une source d'inspiration pour toute une génération de mathématiciens. Le problème mathématique posé par ces équations reste cependant ouvert – et l'institut Clay l'a distingué en 2000 comme une des sept plus importantes questions non résolues en mathématique, auxquelles il attachait un « prix du millénaire » doté de 1 million de dollars.

D'autres équations aux dérivées partielles, réputées comme fortement non linéaires, ont historiquement résisté aux efforts des plus grands experts du domaine. C'est le cas des équations elliptiques, et en particulier de l'équation de Monge-Ampère, proposée en 1784 par Gaspard Monge (1746-1818), dont l'importance est grande en géométrie différentielle des surfaces. Dans une série d'articles remarquables, Caffarelli révolutionne l'étude de ces équations en démontrant que leurs solutions ont les mêmes caractéristiques de régularité que les équations linéaires.