MADHAVA DE SANGAMAGRAMA (1350-1425)

Madhava de Sangamagramaest un mathématicien et astronome vivant à la fin du xiv^e siècle au Kerala (Inde). Il est un précurseur de l’analyse classique, et ses découvertes dans le développement en séries des fonctions trigonométriques précèdent de plusieurs siècles les formules équivalentes établies par les mathématiciens européens.

Madhava (Madhavan Ilannippali Empran) est né en 1350 à Sangamagrama, un village proche de Cochin (Kochi) sur la côte Malabar, dans l’actuel État du Kerala, au sud-ouest de l’Inde. Sa famille appartient à l’ethnie Namputiri. Le nom du village serait la traduction en sanskrit d’un mot de la langue de l’Inde du Sud (le dravidien) signifiant « union de deux rivières ». On sait peu de choses sur la vie de Madhava et seuls nous sont parvenus quelques-uns de ses écrits sur l’astronomie, comme le Venvaroha et le Chandravkyani consacrés aux mouvements respectifs des planètes et de leurs satellites.

En Inde, et en particulier au Kerala, le développement des mathématiques est fort ancien. Traditionnellement, elles font partie des sciences astrales qui regroupent d’une part l’astronomie et les mathématiques, d’autre part l’astrologie et la divination. Déjà, au v^e siècle, Aryabhata (476-550) avait proposé une théorie astronomique novatrice selon laquelle la Terre tournait sur elle-même, expliquant correctement les éclipses du Soleil et de la Lune, tout en posant les fondements de la trigonométrie, par exemple avec la définition des fonctions sinus et cosinus (termes dont l’étymologie renvoie au sanskrit). Au ix^e siècle, Sankaranarayana (env. 840-900 env.) astronome-mathématicien à la cour du roi Ravi Kulasekhara, avait commenté et poursuivi les travaux d’Aryabhata, et établi un observatoire dans le port de Kodungallur, au Kerala.

Bien qu’aucun texte mathématique de Madhava ne nous soit parvenu, on a une idée assez précise de ses résultats grâce aux écrits des générations suivantes de mathématiciens de ce qu’il est convenu d’appeler l’« école du Kerala ». Parmi ces savants profondément influencés par Madhava, on peut citer Nilakantha Somayaji (1444-1544), dont le célèbre traité d’astronomie – le Tantrasamgraha – écrit en 1501 fait une mention explicite des résultats mathématiques de Madhava, tout en leur apportant des améliorations et des généralisations. Cinquante ans plus tard, un autre mathématicien-astronome de l’école de Kerala, Jyesthadeva (1500-1575) écrit un commentaire – le Yuktibhasa (Abrégé d’astronomie rationnelle) – de ce traité. Grâce à ces témoignages écrits en malayalam, la langue régionale du Kerala, on apprend que Madhava a développé un usage nouveau de séries numériques infinies dont l’importance dans le domaine de l’analyse mathématique moderne sera plus tard magnifiée par l’Allemand Gottfried Leibniz (1646-1716). Les travaux de Madhava sur les fonctions trigonométriques dont l’usage est si important en astronomie l’ont amené à écrire les développements en séries des fonctions sinus, cosinus et arc tangente (la fonction réciproque de tangente). Ces résultats ne sont pas exprimés par des symboles (le signe « égal » n’est jamais utilisé, par exemple) mais par des phrases comme :

« Le premier terme est le produit de la longueur de l’arc de cercle par le rapport du jya [le sinus] et du koti [le cosinus] de l’arc. Les termes suivants sont obtenus par itération en multipliant le premier terme par le carré du jya divisé par le carré du koti. Tous les termes doivent ensuite être divisés par les nombres impairs successifs. L’arc est obtenu en ajoutant (respectivement en soustrayant) les termes de rangs impairs (respectivement pairs). Des deux termes jya et koti, le premier doit être plus petit que le second, sinon les termes ne seraient pas ultimement bornés. »

En notation moderne, on écrirait : ry/x – [...]