MAGNÉTOHYDRODYNAMIQUE (MHD)

Équations générales de la M.H.D. des liquides

La M.H.D. est consacrée à l'étude des interactions entre le champ de vitesse v et le champ d'induction magnétique B, qui décrivent le mouvement d'un fluide conducteur dans un champ magnétique. Elle est donc régie par un système d'équations couplées obtenu à partir des équations de Maxwell et des équations de l'hydrodynamique. Les premières (cf. électricité - Électromagnétisme) s'écrivent ici sous forme simplifiée :

Dans cette relation, le champ d'induction v ∧ B s'ajoute au champ électrique E produit dans le repère fixe ; la conductivité électrique σ est supposée scalaire et non modifiée par la présence du champ B (l'effet Hall est négligeable dans les métaux).

Les équations générales de l'hydrodynamique s'écrivent, d'autre part, également sous forme simplifiée :

Convexion et diffusion du champ magnétique

En éliminant entre les équations (1) à (4) les variables auxiliaires j et E, on obtient :

L'équation (7) met en évidence le couplage entre le champ B et le champ de vitesse v ; si l'on suppose connu v, c'est-à-dire le mouvement du fluide, elle décrit l'évolution de B ; c'est ce qu'on peut appeler avec Lundquist l'aspect cinématique de la M.H.D. Les deux termes qui figurent au deuxième membre de l'équation (7) décrivent deux mécanismes différents qui font évoluer B en un point donné : le premier dépend de la vitesse du fluide, le second est proportionnel à sa résistivité. Pour des raisons qui vont être développées, on peut les appeler :

Supposons tout d'abord le deuxième terme nul, de sorte que l'équation d'évolution de B se réduit à :

Ce cas limite s'obtient en considérant un fluide de conductivité électrique σ infinie ; pour que j et B restent finis, on doit alors avoir :

Des deux équations (9) et (10) on déduit que le champ magnétique est entraîné par la matière ; mathématiquement, cela s'exprime par deux théorèmes de convexion de B représentés sur la figure : sur ce schéma, C représente un contour fermé tracé à un certain instant t dans le fluide et MP une ligne confondue à ce même instant avec une ligne de force de B. À un instant ultérieur t′, les éléments du fluide se sont déplacés : ceux du contour C tracent un contour C′, ceux de la ligne MP décrivent une ligne M′P′. Les deux théorèmes de convexion de B permettent d'affirmer que le flux du champ magnétique Φ (C′) à travers C′ est égal au flux initial Φ (C) à travers C et que la ligne M′P′ se confond comme MP avec une ligne de force de B.

Ces deux résultats ont été énoncés clairement par l'astrophysicien suédois Hannes Alfvén, en 1942, qui les a résumés en disant que le champ magnétique et la matière constituent deux fluides gelés l'un dans l'autre.

Considérons maintenant le cas limite opposé où le deuxième mécanisme d'évolution de B est dominant, de sorte que l'équation d'évolution de B se réduit à :

Sous cette forme, on reconnaît l'analogue vectorielle de l'équation classique de la diffusion ; λ est le coefficient de diffusion de B. L'équation (11) exprime le fait que toute perturbation locale de B tend à s'atténuer par diffusion selon le schéma indiqué sur la figure. La vitesse de diffusion est d'autant plus faible que la conductivité électrique du fluide est plus grande, parce que les courants de Foucault s'opposent aux variations de B. En un temps de l'ordre de t, la distance de diffusion est de l'ordre de (λt )^1/2 ; la pénétration d'un champ alternatif de pulsation ω est limitée à une couche dont l'épaisseur est de l'ordre de (λ/ω)^1/2 : c'est l'effet de peau. Remarquons, enfin, que les phénomènes de diffusion décrits précédemment sont indépendants de v qui ne figure plus dans l'équation (11) : dans ce cas limite, il n'y a plus aucune convexion de B par la matière.

En pratique, convexion et diffusion se superposent toujours plus ou moins et il est intéressant d'établir un critère caractérisant l'importance relative de ces deux mécanismes. L'analyse dimensionnelle de l'équation (7) le permet ; désignons par l une longueur qui caractérise l'échelle de l'écoulement considéré (distance sur laquelle v ou B varie notablement) : on voit alors que le terme de convexion est d'ordre vB/l et celui de diffusion d'ordre λB/l². On peut donc former le nombre sans dimension :

Il y a une importante analogie entre l'équation (7) de transport de B et l'équation qui décrit dans un fluide incompressible, non conducteur, mais visqueux l'évolution de la grandeur ω = rot v qu'on peut appeler la vorticité. Celle-ci s'écrit en effet :

Le parallélisme entre les grandeurs relatives à ω et B est souligné dans le tableau. Pour un fluide donné, on peut former le rapport :

Tenseur des efforts magnétiques : pression et tension magnétiques

Dans l'équation fondamentale de la dynamique (6), le terme j ∧ B représente la force électromagnétique appliquée à une unité de volume du fluide. En tenant compte de l'équation de Maxwell-Ampère (2), on peut montrer que cette force est la divergence d'un tenseur, c'est-à-dire que l'on a :

En analysant ces tenseurs, on montre que le champ B exerce sur la matière une pression isotrope, appelée pression magnétique :

Lorsque le champ B est uniforme, la résultante des forces appliquées à un élément de volume du fluide est nulle (cf. formule 16 et ). Dans un champ non uniforme, p_M et T_M varient d'un point à un autre et les lignes de force sont en général courbes. La force résultante j ∧ B n'est plus alors nulle en général ; on peut vérifier qu'elle est perpendiculaire à B et l'analyser en deux composantes : l'une est due au gradient transverse de la pression magnétique ; l'autre, dirigée selon le rayon de courbure R de la ligne de force moyenne et égale à B²/μ₀R, est la résultante des forces de traction. On peut vérifier que, lorsque j = 0, la structure du champ est telle (rot B = 0) que ces deux composantes se compensent, de sorte que la force résultante est effectivement nulle.

Ondes d'Alfvén

Lorsqu'un fluide assez conducteur est placé dans un champ magnétique statique B, la propagation des ondes électromagnétiques de basse fréquence s'y fait avec entraînement de la matière par convexion : de telles ondes sont appelées magnétohydrodynamiques (ou parfois hydromagnétiques).

Le cas le plus simple est celui d'ondes planes sinusoïdales se propageant dans un fluide homogène, parallèlement à un champ uniformeB₀ ; si la matière et le champ magnétiques sont gelés l'un dans l'autre, on a alors les ondes d'Alfvén transversales dont la structure est représentée sur la figure. Elles peuvent être décrites en considérant les tubes de force comme des cordes vibrantes tendues par la tension magnétique T_M et chargées par la matière entraînée par convexion. La vitesse de propagation de ces ondes est alors donnée par la formule classique des cordes vibrantes :

Pour que les ondes d'Alfvén se propagent sans dispersion ni amortissement notable, il faut que la fréquence soit assez basse et que le champ B₀ et la conductivité σ soient assez forts.

Écoulements de Hartmann

On appelle écoulements de Hartmann une famille d'écoulements stationnaires, laminaires, ayant la structure représentée sur la figure : le fluide conducteur, supposé incompressible, s'écoule entre deux plaques parallèles considérées comme infinies. Un champ magnétique uniforme B_z est imposé dans la direction Oz perpendiculaire aux plaques ; la vitesse v_y du fluide est dirigée suivant Oy et un champ électrique uniforme E_x peut être appliqué suivant la troisième direction Ox. Les champs électriques E_x et v_y B_z produisent un courant j_x dirigé suivant Ox ; on dispose le circuit extérieur de façon que les trajets des courants de retour j′ soient situés dans des plans parallèles à xOz, et produisent donc avec j_x un champ induit B_y parallèle à v. Le mouvement est entretenu soit par le champ E_x et la force − j_xB_z qui en résulte, soit par un gradient de pression ∂p/∂y. E_x, B_z et ∂p/∂y sont des constantes, v_y, B_y et j_x sont des fonctions de z.

Un écoulement de Hartmann possède une vorticité ω_x dirigée suivant Ox dont l'existence est due au fait que v_y s'annule à la paroi. Sa répartition est le résultat de deux effets contraires : la viscosité qui tend à faire diffuser ω_x vers l'intérieur du fluide, et le champ magnétique transverse qui s'oppose à cette pénétration. Si B_z est assez fort, la vorticité est confinée au voisinage des parois dans deux couches limites dont l'épaisseur est de l'ordre de :

l_H est la longueur de Hartmann, le nombre de Hartmann H étant le rapport a/l_H où 2 a est la distance entre les plaques. Lorsque H >> 1, la répartition de v_y dans la section droite a l'allure représentée sur la figure.

Pompage électromagnétique du sodium dans les réacteurs nucléaires

Parmi les applications des écoulements de Hartmann, seules les pompes électromagnétiques sont dès maintenant entrées dans la pratique industrielle : on les utilise en particulier dans l'industrie nucléaire pour véhiculer le sodium fondu qui est le fluide caloporteur généralement choisi pour les réacteurs surrégénérateurs. Le schéma de principe d'une telle pompe est représenté sur la figure.

Les pompes réalisées sont de deux types : pompes à conduction qui dérivent directement du schéma de la figure et où des électrodes relient le fluide à un circuit extérieur ; pompes à induction dans lesquelles le fluide est isolé et parcouru par des courants de Foucault induits dans sa masse par un champ magnétique alternatif glissant. La figure indique dans un diagramme débit-pression les domaines d'utilisation des pompes de ces divers types fabriquées en France par la Société G.A.A.A. (Groupement atomique Alsacienne-Atlantique).