- 1. Une science hypothético-déductive
- 2. Un langage précis d'origine éclectique
- 3. Une belle architecture abstraite
- 4. Un mode de compréhension rayonnant
- 5. Une discipline autonome
- 6. Un essor prodigieux
- 7. Un « sport » cérébral formateur
- 8. Un espace ludique
- 9. Une éthique de la probité intellectuelle
- 10. Bibliographie
- 11. Sites internet
MATHÉMATIQUE
Une belle architecture abstraite
Les notions mathématiques se développent les unes à partir des autres comme des constructions abstraites. En allant des structures les plus simples vers les plus compliquées et en en parcourant leurs propriétés, on a l'impression de s'élever à l'intérieur d'un édifice abstrait qui, avec les progrès de la recherche, ne cesse de croître (tant en hauteur qu'en étendue), de se consolider et de s'unifier, et dont la beauté théorique est rehaussée par les résultats profonds, parfois inattendus, que l'on obtient. L'une des grandes difficultés de l'étude de la mathématique est justement, outre son caractère abstrait, le fait que les notions mathématiques et les démonstrations de leurs propriétés dépendent d'autres notions et de résultats, de plus en plus nombreux au fur et à mesure que l'on s'élève dans l'édifice mathématique, qu'il est nécessaire d'avoir préalablement étudiés et compris. Par exemple, pour définir un bimodule de Hopf sur une K-bigèbre, il faut d'abord définir, dans cet ordre car chacun s'appuie sur les précédents, les objets mathématiques suivants (et en étudier certaines de leurs propriétés) : 1) groupe et groupe abélien ; 2) anneau, anneau unifère commutatif et corps commutatif ; 3) module sur un anneau A ou A-module et espace vectoriel sur un corps K ou K-espace vectoriel ; 4) algèbre sur un anneau commutatif A ou A-algèbre et algèbre associative unifère sur un anneau unifère commutatif ; et cogèbre sur un anneau unifère commutatif A ou A-cogèbre (et, auparavant, produit tensoriel de deux modules sur un anneau unifère commutatif) et cogèbre coassociative coünifère sur un anneau unifère commutatif ; 5) bigèbre sur un anneau unifère commutatif A ou A-bigèbre et bigèbre de Hopf sur un anneau unifère commutatif ; et comodule à gauche (et comodule à droite) sur une A-cogèbre coassociative coünifère ; 6) module de Hopf à gauche (et module de Hopf à droite) sur une K-bigèbre. Pas question de sauter un étage ! En revanche, on peut bifurquer et faire d'autres explorations ; par exemple, pour aborder la définition d'une « A-algèbre de Poisson différentielle » (qu'il vaudrait mieux écrire avec des traits d'union : A-algèbre-de-Poisson-différentielle, ou, mieux encore, appeler A-bialgèbre-différentielle de Poisson), il faut d'abord étudier les niveaux 1 à 3 ci-dessus et : 4') algèbre sur un anneau commutatif A ou A-algèbre, algèbre commutative et algèbre de Lie sur un anneau unifère commutatif ; 5') algèbre-de-Poisson (mieux nommée bialgèbre de Poisson) sur un anneau unifère commutatif A ou A-bialgèbre de Poisson ; 6') représentation de Poisson d'une A-bialgèbre de Poisson.
La question des fondements de la mathématique et de ses liens avec la logique est difficile et une opposition entre formalisme et intuitionnisme a pu donner lieu à débats, mais, que l'on admette ou non d'autres objets mathématiques que les ensembles, et quelle que soit la réponse que l'on donne à la question évoquée ci-dessus sur ce qu'est un objet mathématique, il reste que la notion d'appartenance, la théorie des ensembles et un minimum d'axiomatisation et de formalisme font partie des fondements de toute théorie mathématique : ce socle ou « tronc » commun en garantit déjà l'unité, mais celle-ci est renforcée par les « ponts » qui ont été construits, particulièrement au xxe siècle, entre ses différentes parties ou « branches ». Alors que la distinction était nettement faite autrefois entre la logique mathématique, l'algèbre, l'analyse, la géométrie et la théorie des probabilités et des statistiques, il faut maintenant compter aussi avec la géométrie algébrique, la topologie algébrique, la géométrie[...]
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Écrit par
- Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN : diplômé en sciences de l'éducation, mathématique, économie, philosophie, ethnologie et bibliothéconomie
Classification
Média
Enseignement des mathématiques, N. Berline
Encyclopædia Universalis France
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