MATHÉMATIQUES (DIDACTIQUE DES)

Une proposition d'organisation de l'enseignement

Dans cette organisation, l'enseignant prend en compte officiellement la construction du savoir des élèves par les élèves eux-mêmes. Cette organisation est fondée du point de vue cognitif sur trois points : la dialectique outil/objet ; la dialectique ancien/nouveau ; le jeu de cadres. Du point de vue des échanges de l'élève avec le milieu au sein duquel il évolue, elle s'appuie sur les trois formes de dialectique (action, formulation, validation). Enfin, du point de vue du contrat didactique, elle nécessite une institutionnalisation des connaissances et un moyen pour l'élève de contrôler lui-même son apprentissage. Nous décrivons ce fonctionnement ci-dessous en dégageant les deux leviers sur lesquels nous avons choisi d'agir : le sens (dialectique outil/objet) et le jeu des déséquilibres/rééquilibration (jeu de cadres).

La dialectique outil/objet est caractérisée par l'organisation schématique suivante : étant donné un certain problème, la première étape consiste en la mise en œuvre d'un objet connu comme outil explicite pour engager une procédure de résolution du problème ou au moins d'une partie du problème. Autrement dit, on mobilise de l'« ancien » pour résoudre au moins partiellement le problème.

Dans la deuxième étape, l'élève rencontre des difficultés pour résoudre complètement son problème : soit parce que sa stratégie devient très coûteuse (en nombre d'opérations, en risque d'erreurs, en incertitude du résultat...), soit parce qu'elle ne fonctionne plus. Il est conduit à chercher d'autres moyens mieux adaptés à sa situation. On reconnaît là le début d'une phase d'action. Il peut alors mettre en œuvre implicitement des outils nouveaux, soit par l'extension du champ de validité, soit par modification des hypothèses qui en autorisent l'emploi et peut-être par les conclusions qu'on peut en tirer, soit par leur nature même. Schématiquement, nous parlons dans cette étape de nouveau implicite. Du point de vue de l'élève les conceptions à l'œuvre à ce moment-là vont entrer en conflit avec les anciennes (même s'il ne s'agit pas d'un obstacle au sens donné plus haut) ou au contraire les englober en les élargissant. Les erreurs et contradictions ou, au contraire, les prolongements deviennent les enjeux de processus dialectiques de formulation et de validation propres à résoudre les conflits et assurer les intégrations nécessaires. Cette étape est une phase d'apprentissage. C'est là essentiellement que les conceptions et les représentations de l'élève évoluent.

Dans la troisième étape, certains éléments sont formulés et identifiés (avec leurs conditions d'emploi du moment). Ce sont ceux qui, dans l'étape précédente, ont joué un rôle important et qui sont susceptibles d'être appropriés à ce moment-là de l'apprentissage.

Le processus que nous venons de décrire comprend plusieurs phases basées sur un problème à résoudre impliquant tous les élèves. Toutefois, même si la collectivité « classe » a résolu le problème, tous n'ont pas réagi, à titre individuel, de la même manière vis-à-vis du savoir engagé dans le problème, vis-à-vis des connaissances-outils mobilisées. Dans les situations de communication, le savoir diffuse diversement selon les élèves. Officialiser certaines connaissances qui, jusque-là n'ont été que des outils, leur donner un statut d'objet mathématique est une condition d'homogénéisation de la classe, et, pour chacun, une façon de jalonner son savoir et par là même d'en assurer la progression. C'est la fonction principale des situations d'institutionnalisation. Une autre fonction est d'intégrer le savoir social, les habitudes et conventions dans le savoir de l'élève.

Par ailleurs, la structuration personnelle du savoir est de première importance en mathématiques pour qu'il y ait effectivement savoir. Cette structuration a été bien engagée dans le processus développé. Toutefois, pour la parfaire, l'élève a encore besoin de mettre à l'épreuve éventuellement dans des essais renouvelés, tout seul, les connaissances qu'il croit avoir acquises et faire le point sur ce qu'il sait. C'est la fonction des exercices.

Dans cette structure qu'on peut appeler « activités-institutionnalisation-exercices », on a montré toute l'importance du premier terme. Sans les deux autres termes, son incidence sur l'appropriation des connaissances risquerait d'être faible pour l'élève.

Remarquons qu'il n'est pas nécessaire que toutes les notions visées par l'apprentissage soient introduites dans une dialectique outil/objet. Certaines peuvent être apportées directement par l'enseignant ou par la lecture d'un manuel. Il reste à résoudre un véritable problème didactique : définir une stratégie pour l'organisation de la matière à enseigner (répartition entre problèmes et apport direct...) et, pour une certaine organisation, définir une stratégie d'adaptation aux réactions de la classe.

Le jeu de cadres traduit l'intention d'exploiter le fait que la plupart des concepts peuvent intervenir dans divers domaines, divers cadres. Il en résulte des correspondances entre objets et relations des différents cadres. Mais, pour les élèves en cours d'apprentissage, les concepts fonctionnent de manière partielle et différente selon les cadres. Par suite, les correspondances sont incomplètes. Nous choisissons, pour introduire et faire fonctionner les nouvelles connaissances à enseigner, des problèmes où elles interviennent dans au moins deux cadres. Nous privilégions les cadres, pratiquement cela veut dire les problèmes, dans lesquels cette imperfection des correspondances est créatrice de déséquilibres qu'il s'agit de compenser. Les efforts déployés pour la recherche d'un équilibre pourront se traduire par un dépassement de l'objectif visé, d'où un nouveau déséquilibre, et ainsi de suite jusqu'à la construction d'un modèle stable pour toutes les opérations qu'on veut faire.

Le jeu de cadres est indispensable pour donner du sens à l'activité mathématique, puisque les mathématiques ne décrivent que des relations. C'est une particularité de cette discipline qui, avec la nécessité absolue de structurer l'information, explique, en grande partie, la spécificité de sa didactique.

Il reste à exprimer des conditions sur les problèmes pour que certains rapports de l'élève au problème soient assurés, que la dialectique outil/objet et le jeu de cadres soient possibles. Énonçons celles que nous avons retenues. La connaissance visée par l'apprentissage est un outil adapté au problème. L'énoncé a du sens dans le champ des connaissances de l'élève ; cela veut dire que l'élève peut envisager ce qu'est une solution ; cela est indépendant de sa capacité à concevoir une stratégie (par exemple, une réponse négative à la conjecture de Fermat serait la désignation de 4 nombres entiers non nuls, x, y, z, n tels que n ≥ 3 et xⁿ + yⁿ = zⁿ). Compte tenu de ses connaissances, l'élève peut engager une procédure de résolution mais ne peut la faire aboutir. Le problème est riche, autrement dit le réseau des concepts impliqués est assez important mais pas trop pour que l'élève puisse en gérer la complexité. Le problème est ouvert par la diversité des questions ou des stratégies possibles et par l'incertitude qui en résulte pour l'élève (complexité et ouverture sont des notions relatives à l'élève. Un problème est riche et ouvert pour une classe, s'il l'est pour assez d'élèves de la classe – 80 p. 100 par exemple. Ces conditions éliminent un découpage de l'énoncé en de trop petites questions). Le problème peut se formuler dans au moins deux cadres différents, chacun ayant son langage et sa syntaxe.

Les notions de champ conceptuel et d'analyse de la tâche introduites par G. Vergnaud sont précieuses pour concevoir et organiser les situations-problèmes. Donnons un exemple de problème. « Un rectangle étant donné, on sait déterminer son aire et son périmètre. Existe-t-il un rectangle de périmètre et aire donnés ? » Ce problème est élémentaire pour un élève de troisième. Si le problème s'adresse à un élève de cours moyen ou de sixième, il s'inscrit dans une tout autre perspective. Il répond à toutes les conditions énoncées plus haut. La connaissance visée peut être, par exemple, l'utilisation des nombres décimaux pour donner des solutions approchées avec une précision arbitrairement grande à un problème dont on ne sait pas s'il admet une solution exacte. Dans ce problème, l'énoncé fourni aux élèves comporte des données numériques (par exemple, on cherche un rectangle de périmètre 34 cm et d'aire 40 cm²). Ces données sont des variables didactiques, leur variation doit faire évoluer les conceptions de l'élève. Toutefois, H. Ratsimba-Rayohn a montré que, dans certains cas, l'élève peut privilégier le premier modèle appris, au détriment d'un autre appris par la suite et pourtant plus efficace ou mieux adapté au problème qu'il doit résoudre.