MATIÈRE (physique) Transitions de phase

Les exposants critiques

Afin d'étudier le comportement des grandeurs physiques singulières au voisinage d'un point de transition du deuxième ordre, on a pris l'habitude de les représenter par une puissance de |T₀ — T|. Chaque grandeur est ainsi caractérisée par un exposant critique. Si h désigne le paramètre intensif conjugué du paramètre d'ordre, suivant une nomenclature introduite par M. E. Fisher, on pose, pour la capacité thermique massique à h constant, respectivement si T > T₀ et si T < T₀ :

Ces divers exposants ne sont pas indépendants. On a, par exemple, l'inégalité (G. S. Rushbrooke) :

Bernard Widom réussit à établir cette relation en formulant l'hypothèse qu'au voisinage d'un point de transition du deuxième ordre la partie singulière de l'énergie libre (c'est-à-dire celle qui détermine les exposants critiques) est donnée par :

La partie singulière de l'énergie libre est donc une fonction homogène généralisée de l'écart de température T — T₀ et du paramètre d'ordre η. Elle ne dépend que de deux exposants α et β, choisis de façon à ce qu'ils coïncident avec les exposants critiques de même nom. La relation d'Essam et Fisher s'obtient en dérivant deux fois F en η. En effet :

L'hypothèse d'homogénéité de F(T ; η) a permis à Widom d'établir d'autres relations, par exemple,

Ces résultats ont suscité un grand nombre de travaux. En particulier, les physiciens ont étudié systématiquement différents modèles et, grâce au développement de l'informatique, ils ont réussi à déterminer leur comportement critique.

Les différents modèles

La théorie rigoureuse d'une transition particulière, dans le cadre de la mécanique statistique, soulève d'énormes difficultés mathématiques. Ces difficultés ont incité les théoriciens des phénomènes critiques à imaginer des modèles suffisamment simples pour faciliter les calculs. Citons :

– Les solutions solides binaires avec interactions limitées aux premiers voisins.

– Le modèle de fluide de Yang et Lee. Ces derniers supposent que les atomes d'un type donné ne peuvent occuper dans l'espace que les nœuds d'un réseau. La densité est proportionnelle au nombre de sites occupés et, l'énergie de configuration étant seule prise en compte, l'énergie cinétique est ignorée. Malgré son caractère assez grossier, ce modèle permet de rendre compte de la transition liquide-gaz de façon qualitativement satisfaisante.

– Le modèle d'Ising. Proposé en 1925 pour tenter d'interpréter la transition paramagnétique-ferromagnétique, ce modèle suppose que chaque nœud du réseau est occupé par un atome porteur d'un moment magnétique qui ne peut s'orienter que parallèlement ou antiparallèlement à un champ magnétique extérieur. Les interactions entre moments magnétiques sont limitées aux premiers voisins.

– Le modèle n-vectoriel. C'est la généralisation du précédent. Ici chaque nœud du réseau est occupé par un vecteur de longueur unité ayant n composantes. L'interaction entre deux vecteurs voisins S₁ et S₂ est de la forme — JS₁. S₂ où J est une constante positive. Le modèle d'Ising correspond à n = 1.

– Le modèle de Potts. C'est encore une généralisation du modèle d'Ising. Chaque nœud du réseau est occupé par un objet qui peut être dans q états différents. L'interaction entre deux objets voisins est égale à — J ou 0, suivant que ceux-ci sont dans le même état ou dans des états différents. À un changement d'échelle d'énergie près, le modèle d'Ising correspond à q = 2.

L'intérêt de ces divers modèles déborde l'étude des transitions de phases ordinaires. Les polymères, par exemple le polyéthylène ou le polystyrène, sont des molécules organiques constituées d'un nombre N très grand de monomères identiques. La longueur, bout à bout, des chaînes de polymères en solution diluée est aléatoire. On trouve que la racine carrée de la moyenne quadratique de ces longueurs varie comme N^ν, où ν est un exposant universel qui vaut environ 3/5. C'est l'analogue d'un exposant critique rencontré dans la théorie des changements de phase. Ce résultat n'est pas qu'une simple analogie. P. G. de Gennes a démontré, en 1972, que les exposants critiques des polymères se confondaient avec ceux du modèle n-vectoriel, dans la limite n = 0.

– Le modèle de percolation. L'étude d'un grand nombre d'objets qui peuvent se connecter est décrite par le modèle dit de percolation. Considérons un réseau cubique dans lequel les liaisons entre deux sites voisins sont formées de façon aléatoire avec la probabilité p. On appelle amas un ensemble de sites connectés par des liaisons. Pour une valeur de la probabilité p_c, dite seuil de percolation, il apparaît un amas géant s'étendant d'un bord à l'autre du réseau. Si p < p_c, tous les amas sont de taille finie. Dans la limite d'un réseau infini, la taille de l'amas géant, au voisinage de p_c, croît comme :

On démontre que les exposants critiques du modèle de percolation sont ceux du modèle de Potts, dans la limite q = 1.

Résultats théoriques et expérimentaux

Le problème posé par le modèle d'Ising a été étudié par son auteur dans le cas d'un réseau à une dimension. Ce système ne présente aucune transition, ou, plus exactement, sa température de transition est nulle, ce qui signifie que le réseau unidimensionnel est ordonné à 0 K et désordonné à toute température non nulle. La solution du problème d'Ising, dans le cas d'un réseau carré à deux dimensions, a été trouvée en 1944 par L. Onsager. Cette solution, compliquée, a été par la suite simplifiée et complétée par certains auteurs. Sans entrer dans les détails, on se contentera ici d'indiquer quelques résultats :

– À la température de transition, la chaleur spécifique diverge de façon logarithmique (α = α′ = + 0, la notation + 0 signifiant infiniment petit et positif).

– Au voisinage de la température de transition, le paramètre d'ordre se comporte comme |T₀ — T|^1/8.

– Au voisinage de la température de transition, la susceptibilité relative au paramètre d'ordre se comporte comme |T₀ — T|^—7/4.

On notera que ces résultats sont en parfait accord avec les deux relations de Widom ainsi qu'avec celle d'Essam et Fisher.

Tous les essais en vue de résoudre le problème d'Ising, dans le cas d'un réseau tridimensionnel, n'ont pas, jusqu'à présent, été couronnés de succès. Cela est regrettable, car les résultats sont très affectés par le nombre de dimensions du système. Diverses techniques d'approximations successives ont permis, toutefois, d'estimer les exposants critiques. G. A. Baker et D. S. Gaunt ont publié, en 1967, les résultats suivants :

Ici encore, on constate que la relation d'Essam et Fisher est satisfaite.

Pour le modèle n-vectoriel, E. Stanley a obtenu en 1971, dans le cas d'un réseau tridimensionnel, les résultats suivants :

Il apparaît que, pour la classe de modèles considérés (interaction de la forme S₁ . S₂), les exposants critiques ne dépendent que de la dimension de l'espace et du nombre de composantes n du paramètre d'ordre. Ils sont indépendants de la portée des interactions, de la géométrie du réseau, du caractère quantique ou classique des objets qui s'ordonnent, etc. Cette propriété constitue ce qu'on appelle l'« universalité ».

Les résultats expérimentaux confirment cette propriété. Il faut toutefois souligner que l'interprétation des expériences est extrêmement délicate et il est fréquent que les résultats diffèrent d'un expérimentateur à l'autre. Les valeurs des exposants critiques sont facilement altérées, d'une part, par une modification, même légère, de la température de transition, laquelle n'est pas toujours parfaitement définie, et, d'autre part, par le choix du domaine de température |T — T₀|/T₀ autour du point de transition, dans lequel on représente le comportement de la grandeur physique singulière par un exposant critique.

Groupe de renormalisation

La théorie des phénomènes critiques a fait un progrès décisif avec la publication en 1972 par K. Wilson d'une nouvelle méthode de calcul des exposants critiques. Au voisinage du point de transition, la longueur de corrélation entre, par exemple, les moments magnétiques d'un cristal ferromagnétique devient très grande. Le problème devient donc compliqué puisque, compte tenu de l'importance du nombre de moments magnétiques corrélés, le nombre de degrés de liberté du système est élevé. Suivant une idée de Kadanoff, on peut simplifier ce problème en considérant un système pour lequel la longueur de corrélation est beaucoup plus petite. On divise pour cela le réseau en blocs. Dans chaque bloc, les moments magnétiques, fortement corrélés, se comportent grossièrement comme un moment magnétique unique. On modifie ensuite la maille du nouveau réseau et la longueur des moments magnétiques jusqu'à revenir à un système analogue au système initial mais dans lequel les interactions sont différentes.

Admettant qu'un tel procédé, appelé renormalisation, conduise à l'existence d'une relation entre les interactions effectives (c'est-à-dire les interactions divisées par la température absolue T) K et K′, avant et après transformation, Kadanoff en avait déduit les lois d'échelle ; mais, n'ayant pu obtenir explicitement la forme de la relation K′ = f(K), il lui avait été impossible de calculer les exposants critiques. Cet auteur avait toutefois montré le résultat important suivant : le point de transition correspond à un point fixe de la transformation f, c'est-à-dire un point K* tel que K* = f(K*), et les exposants critiques sont déterminés par le comportement de f au voisinage du point fixe.

Wilson va beaucoup plus loin. Il prouve tout d'abord que le procédé de Kadanoff ne peut conduire à un résultat correct que dans certaines conditions. C'est le cas, par exemple, si la dimensionnalité du système est voisine de 4. Il réussit alors à obtenir les relations qui traduisent la transformation des interactions effectives, appelées équations du groupe de renormalisation, et en déduit un développement des exposants critiques en puissances de ε = 4 — d, où d est la dimensionnalité du système, valable pour ε > 0, c'est-à-dire d < 4. Ainsi, par exemple, l'exposant γ de la susceptibilité isotherme relative au paramètre d'ordre est donné, dans le cas du modèle n-vectoriel, par :

Le domaine d'applications du groupe de renormalisation s'élargit chaque jour. Ainsi, la suite de nombres réels (x_n) appartenant à l'intervalle [0, 1], déterminée par la relation de récurrence :