MÉCANIQUE CÉLESTE

Le problème des n corps

Équations du mouvement des n corps

Soient O l'origine d'un système de référence absolu et n corps P_i de masses m_i. Les équations du mouvement du corps P_i sont :

où j varie de 1 à n sans prendre la valeur i. Il y aura donc 3n équations différentielles du second ordre à intégrer pour connaître le mouvement des n corps. Seules dix intégrales premières du mouvement sont connues, et Henri Poincaré a montré qu'il n'existait pas d'autres intégrales premières uniformes du mouvement. On trouve ces intégrales premières de la façon suivante.

Tout d'abord, soit I le centre des masses des n corps défini par :

On en tire :

où M est la somme des masses mi. En dérivant deux fois et compte tenu des équations générales écrites plus haut, on déduit que :

Le point I a donc un mouvement rectiligne et uniforme, ce qui donne six intégrales premières correspondant aux six constantes d'intégration du mouvement du centre des masses. Par ailleurs, puisqu'il n'y a pas de forces extérieures au système des n points, le moment cinétique en O du système est constant :

où C est un vecteur constant, ce qui donne trois intégrales premières correspondant aux trois composantes de ce vecteur.

Enfin, le théorème des forces vives fournit la dixième intégrale première :

où h est une constante et où U est le potentiel défini par :

i étant différent de j.

Ces intégrales premières sont en nombre insuffisant pour qu'on puisse intégrer les équations du mouvement, sauf si n = 2. C'est le mouvement des deux corps, qui est étudié dans le paragraphe précédent. On indiquera plus loin les différentes méthodes qui permettent de résoudre le problème des n corps.

Le problème d'un grand nombre de corps quelconques

Si l'on considère le problème des n corps dans toute sa généralité, on doit résoudre les équations du mouvement pour n corps de masses comparables entre elles, n étant aussi grand que l'on veut, les positions et les vitesses initiales étant distribuées de façon quelconque. C'est le cas, par exemple, dans les ensembles d' étoiles, amas galactiques, amas globulaires, galaxies. Il n'est pas question d'intégrer séparément les équations du mouvement de chacune des étoiles, mais, en revanche, on souhaite connaître l'évolution globale, dans le passé et dans l'avenir, de l'ensemble. On cherche, par exemple, à savoir si un amas va se disperser complètement dans l'espace et en combien de temps, ou bien si, au contraire, les étoiles qui le forment resteront toujours groupées. Pour cela, on fait appel à certaines hypothèses simplificatrices, par exemple que les étoiles ont une distribution sphérique, leur densité numérique augmentant vers le centre. On caractérise l'ensemble des n corps non pas par les coordonnées de chacun d'eux, mais par un nombre limité de paramètres auxquels on applique des théorèmes connus de la mécanique, comme le théorème du viriel. On peut aussi suivre l'évolution des paramètres choisis au moyen d'intégrations numériques rendues faciles et rapides par l'utilisation d'ordinateurs. Cette branche de la mécanique céleste porte le nom de dynamique stellaire.

Les équations aux perturbations

Dans le système solaire, la distribution des masses, des positions et des vitesses est particulière et permet de résoudre le problème des n corps par des méthodes d' approximation.

La masse du Soleil est beaucoup plus grande que celles des planètes, puisque la plus massive d'entre elles, Jupiter, a une masse mille fois plus faible. Il en résulte que la seule force notable qui agit sur une planète est la force d'attraction du Soleil. On est ramené au mouvement de deux corps, le Soleil et la planète, qui a donc un mouvement képlérien autour du Soleil. L'attraction des autres planètes crée des petites[...]

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Écrit par

Bruno MORANDO : docteur ès sciences, astronome au Bureau des longitudes

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