MÉCANIQUE CÉLESTE

Les théories planétaires

Soit x_i, y_i, z_i les coordonnées rectangulaires d'une planète P_i de masse m_i dans un système d'axes ayant pour centre le Soleil O, de masse prise pour unité. Soient r_i la distance OP_i et r_ij la distance P_iP_j de la planète P_i à une autre planète P_j de masse m_j. Des équations du problème des n corps données ci-dessus, on déduit facilement :

Posons :

On développera la fonction perturbatrice en développant chaque fonction R_ij sous la forme suivante :

Les coefficient B et C dépendent, comme A, des éléments métriques ; les sigma signifient qu'il faut tenir compte d'un grand nombre de termes correspondant à des systèmes de valeurs différents des entiers positifs, négatifs ou nuls j₁, j₂, j₃, ..., les coefficients B et C changeant avec chaque combinaison.

Pour intégrer, on peut procéder par approximations successives selon le schéma indiqué plus haut. On voit que, lorsqu'on substitue la solution d'ordre zéro, correspondant à des mouvements képlériens pour toutes les planètes, dans les seconds membres et qu'on intègre, il apparaît des termes séculaires provenant des termes de la fonction perturbatrice qui ne contiennent pas les fonctions linéaires du temps M_i et M_j. Aux ordres plus élevés que le premier, on voit apparaître des termes contenant des puissances du temps plus grandes que un et même des termes de Poisson, produits de fonctions périodiques par des puissances du temps. Ces termes semblent indiquer que le système solaire est instable, puisque certains éléments des orbites croissent au-delà de toute limite. Cela est dû en grande partie à la façon dont on est amené à conduire les calculs au cours des diverses itérations ; Laplace a montré que, jusqu'à un certain ordre des masses, le système solaire est stable, résultat dont doutait Leverrier et qui sera en partie contredit par Poincaré.

Le mouvement de la Lune

Le corps central est ici la Terre de masse M ; m est la masse de la Lune et m′ celle du Soleil.

Les équations s'écrivent toujours sous la forme :

La fonction perturbatrice est alors :

L'intégration met en évidence des inégalités du mouvement de la Lune dont certaines sont connues par l'observation depuis très longtemps, comme l'évection, qui est une inégalité d'environ 1⁰14′ dans la longitude. On calcule, à l'heure actuelle, des milliers de tels termes dans la position de la Lune.

Les théories du mouvement de la Lune les plus remarquables sont celle de Charles Delaunay, au xix^e siècle, et d'Ernest William Brown, améliorée par Wallace Eckert dans la première moitié du xx^e siècle. On utilise en France, depuis 1984, l'éphéméride lunaire parisienne calculée au Bureau des longitudes.

Le mouvement des satellites artificiels

Le potentiel gravitationnel créé par un corps solide, par exemple la Terre, en un point extérieur à ce corps peut se développer en fonctions harmoniques sphériques sous la forme suivante :

L'orbite peut être considérée, en première approximation, comme une ellipse ayant pour foyer le centre de la Terre, qui tourne dans son plan et dont le plan tourne autour de l'axe de rotation de la Terre.

Mouvement d'un astre autour de son centre de gravité

Cette étude est particulièrement intéressante pour la Terre, dont la rotation est à l'origine de la définition de l'échelle de temps dite temps universel.

La Terre étant considérée comme un corps solide, soit A, B, C ses moments d'inertie par rapport à trois axes rectangulaires ayant pour origine le centre de la Terre et liés à celle-ci. Soient p, q, r les composantes dans ce système d'axes du vecteur vitesse instantanée de rotation.

Ces quantités sont liées par les équations différentielles d' Euler :

En fait, le phénomène est complexe, d'autant plus que la Terre n'est pas un solide indéformable. Les théories et les observations relatives à la rotation terrestre sont centralisées par l'International Earth Rotation Service (cf. terre - Mouvements de la Terre).

Intégration numérique

Quelle que soit la complexité des équations de la mécanique céleste, on a toujours la ressource de les intégrer numériquement. Pour cela, on part de valeurs connues des positions et des vitesses du corps considéré pour un instant donné, et on calcule les valeurs numériques des forces qui agisse sur lui à cet instant. Cela permet d'extrapoler les valeurs des positions et des vitesses pour un instant séparé de l'instant initial d'un pas qu'on se donne à l'avance. On recommence ensuite le processus autant de fois qu'on veut, sans oublier que la solution se dégrade quand on s'éloigne de l'instant initial, et ce d'autant plus que les conditions initiales sont mal connues et que les erreurs d'arrondis dans les calculs sont importantes. Les puissants ordinateurs dont on dispose aujourd'hui permettent de réaliser des intégrations numériques où l'on tient compte d'un grand nombre de forces et d'un grand nombre d'observations. C'est ainsi que le Jet Propulsion Laboratory, aux États-Unis, a calculé des éphémérides très précises des corps du système solaire, largement utilisées et qui sont connues sous les noms de DE 200, DE 102 ou DE 118.

Cependant, les théories analytiques sous forme littérale ou semi-analytique, comme les théories VSOP et TOP, pour les planètes, ou ELP (éphéméride lunaire parisienne), pour la Lune, qui sont développées en France, au Bureau des longitudes, restent fondamentales. Elles permettent d'apprécier la contribution de chacune des forces envisagées, dont les effets ne sont pas mêlés, comme dans l'intégration numérique, et de modifier facilement l'éphéméride quand des valeurs nouvelles de certaines constantes, comme les masses, viennent à être connues.