MÉCANIQUE CÉLESTE

Mécanique céleste du système solaire

Les théories planétaires

Soit x_i, y_i, z_i les coordonnées rectangulaires d'une planète P_i de masse m_i dans un système d'axes ayant pour centre le Soleil O, de masse prise pour unité. Soient r_i la distance OP_i et r_ij la distance P_iP_j de la planète P_i à une autre planète P_j de masse m_j. Des équations du problème des n corps données ci-dessus, on déduit facilement :

et deux équations analogues en y_i et z_i. Dans l'équation ci-dessus, j prend toutes les valeurs de 1 à n (n étant le nombre des planètes envisagées), à l'exception de la valeur i.

Posons :

où Sij est l'angle des directions OP_i et OP_j. R_ij est la fonction perturbatrice de la planète P_i due à la planète P_j. La fonction perturbatrice totale de P_i est :

On développera la fonction perturbatrice en développant chaque fonction R_ij sous la forme suivante :

Les coefficient B et C dépendent, comme A, des éléments métriques ; les sigma signifient qu'il faut tenir compte d'un grand nombre de termes correspondant à des systèmes de valeurs différents des entiers positifs, négatifs ou nuls j₁, j₂, j₃, ..., les coefficients B et C changeant avec chaque combinaison.

Pour intégrer, on peut procéder par approximations successives selon le schéma indiqué plus haut. On voit que, lorsqu'on substitue la solution d'ordre zéro, correspondant à des mouvements képlériens pour toutes les planètes, dans les seconds membres et qu'on intègre, il apparaît des termes séculaires provenant des termes de la fonction perturbatrice qui ne contiennent pas les fonctions linéaires du temps M_i et M_j. Aux ordres plus élevés que le premier, on voit apparaître des termes contenant des puissances du temps plus grandes que un et même des termes de Poisson, produits de fonctions périodiques par des puissances du temps. Ces termes semblent indiquer que le système solaire est instable, puisque certains éléments des orbites croissent au-delà de toute limite. Cela est dû en grande partie à la façon dont on est amené à conduire les calculs au cours des diverses itérations ; Laplace a montré que, jusqu'à un certain ordre des masses, le système solaire est stable, résultat dont doutait Leverrier et qui sera en partie contredit par Poincaré.

Le mouvement de la Lune

Le corps central est ici la Terre de masse M ; m est la masse de la Lune et m′ celle du Soleil.

Les équations s'écrivent toujours sous la forme :

et de façon analogue en y et z. Ici, x, y, z sont les coordonnées de la Lune, x′, y′, z′ celles du Soleil ; Δ est la distance Lune-Soleil.

La fonction perturbatrice est alors :

elle reste peu importante en comparaison du terme principal des équations. En effet, si m′ est très grand, en revanche Δ et r′ sont environ 400 fois plus grands que r. Les petits paramètres par rapport auxquels on développe la solution du problème sont le rapport des demi-grands axes des orbites de la Lune autour de la Terre et de la Terre autour du Soleil (ou le rapport du moyen mouvement du Soleil à celui de la Lune, qui lui est lié directement), ainsi que l'excentricité et l'inclinaison de l'orbite de la Lune.

L'intégration met en évidence des inégalités du mouvement de la Lune dont certaines sont connues par l'observation depuis très longtemps, comme l'évection, qui est une inégalité d'environ 1⁰14′ dans la longitude. On calcule, à l'heure actuelle, des milliers de tels termes dans la position de la Lune.

Les théories du mouvement de la Lune les plus remarquables sont celle de Charles Delaunay, au xix^e siècle, et d'Ernest William Brown, améliorée par Wallace Eckert dans la première moitié du xx^e siècle. On utilise en France, depuis 1984, l'éphéméride lunaire parisienne calculée au Bureau des longitudes.

Le mouvement des satellites artificiels

Le potentiel gravitationnel créé par[...]

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Écrit par

Bruno MORANDO : docteur ès sciences, astronome au Bureau des longitudes

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